Треугольники

В большинстве геометрических задач речь так или иначе заходит о треугольниках. Проведя диагональ BD в прямоугольнике ABCD, мы получи два равных прямоугольных треугольника ABD и CDB. Равенство этих треугольников позволяет сделать вывод о том, что площадь каждого из них в 2 раза меньше площади прямоугольника.

Перейти на статью

Понятие о долях и дробях

Вы уже встречались с долями, которые образуются при делении целого на равные части. Так, например, при делении целого на 7 равных частей получаются седьмые доли, при делении на две равные части получаются вторые доли (их называют половинами), при делении на три равные части — третьи доли (трети), а при делении на четыре — четвертые доли (четверти). Отрезок AF состоит из двух третьих долей отрезка AB, а отрезок AM — из четырех третьих долей отрезка AB. Таким образом, длина AF равна двум третьим долям, а длина AM равна четырем третьим долям длины AB.

Перейти на статью

Понятие десятичной дроби

Таблица разрядов выглядит примерно так: В данном случае число 12 умножили на 10 и тем самым сдвинули его единицы в десятки, а десятки в разряд сотен. Так получилось число 120. А из числа 1200 его получили путем деления на 10. Таким образом, при умножении натурального числа на 10 каждая цифра числа в таблице разрядов сдвигается на одну клетку влево. При делении натурального числа на 10 каждая цифра числа в таблице разрядов сдвигается на одну клетку вправо.

Перейти на статью

Площадь прямоугольника

Длины отрезков мы измеряли с помощью линейки, а величины углов — с помощью транспортира. Еще одну из основных геометрических величин — площадь обычно приходится вычислять. За единицу площади принимают площадь квадрата, длина стороны которого равна единице длины. На рисунке 79 сторона квадрата равна 1 см, поэтому его площадь называют квадратным сантиметром. В квадратных сантиметрах удобно указывать, например, площадь страницы учебника, в квадратных метрах — площадь квартиры, сельскохозяйственные поля изменяют в гектарах, а для площадей стран обычно используют квадратные километры.

Перейти на статью

Буквенные выражения

Разные числовые выражения могут иметь одинаковые значения. Так, например, 23 + (7 + 18) = (23 + 7) + 18 = 48. В исходном выражении мы для облегчения устных вычислений переставили скобки. Тем самым мы применили сочетательный закон сложения. При записи сочетательного закона сложения нужно показать, что его можно применять к любым числам. С этой целью в математике числа обычно заменяют строчными латинскими буквами a, b, c, d, … . Тогда для любых чисел a, b и c сочетательный закон сложения будет выглядеть так: a + (b + c) = (a + b) + c.

Перейти на статью

Сложение и вычитание дробей

Складывать и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями легко, так как достаточно при этом складывать и вычитать их числители. Например, Если же знаменатели дробей различны, поможет такое преобразование как приведение дробей к общему знаменателю:

Перейти на статью

Основное свойство дроби

Если сначала числитель дроби умножить на 3, то дробь в 3 раза увеличится, если же затем умножить на 3 и ее знаменатель, то дробь в 3 раза уменьшится, т. е. в итоге она не изменится! Основное свойство дроби. При умножении числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число величина дроби не изменяется. Это свойство дроби настолько часто используется в математике, что его назвали основным.

Перейти на статью

Умножение на дробь

Площадь прямоугольника с измерениями 5 см и 2 см равна их произведению 5 · 2 = 10 (см2). Если уменьшить сторону, равную 2 см, в 3 раза, то и площадь уменьшится в 3 раза. S = 5 · = (5 · 2) : 3 = (см2).

Перейти на статью

Деление на дробь

«До базы еще 15 км, — подумал турист, идущий со скоростью . — Вот если бы у меня был велосипед, я бы двигался в 2 раза быстрее». Чтобы найти, сколько времени туристу предстоит идти до его базы, нужно путь 15 км разделить на скорость км/ч. Поскольку = , приходим к необходимости деления на дробь:

Перейти на статью

Деление дроби на натуральное число

К правилу умножения дроби на натуральное число мы пришли, складывая несколько одинаковых дробей. Например, Этот же результат можно получить и из чисто практических соображений. При делении двух яблок на троих каждому достается по яблока. Если бы яблок было в 5 раз больше (2 · 5 = 10), то каждому досталось бы больше в 5 раз, т. е.

Перейти на статью

Сравнение дробей

Легко сравнивать дроби, числители которых равны. Представив, например, что — доля каждого при дележе трех яблок на четверых, а — доля при дележе тех же яблок на пятерых, получим, что > . Так же просто сравнить дроби с равными знаменателями. Понятно, что чем больше яблок делишь, тем больше будет доля каждого.

Перейти на статью

Умножение дроби на натуральное число

Как известно, сумма одинаковых натуральных чисел — это произведение одного из них на число слагаемых. Точно так же сумма одинаковых дробей — это произведение одной из этих дробей на их количество в сумме: По правилу сложения дробей с равными знаменателями в левой части равенства получается

Перейти на статью

Объем прямоугольного параллелепипеда

На рисунке вы видите круг, четырехугольник, в котором проведены его диагонали, и шестиугольник. А на рисунке ниже эти фигуры раскрасили, и они, как говорят художники, приобрели объем, т. е. как бы вышли из плоскости в пространство. Каждая из фигур представляет собой часть пространства, ограниченную некоторой поверхностью. Такие пространственные фигуры называют геометрическими телами.

Перейти на статью

Формулы и уравнения

Как известно, пройденный путь равен произведению скорости и времени движения. Обычно величину пройденного пути обозначают буквой s, скорость движения — буквой v, а время — буквой t. Почему для обозначения пройденного пути стали использовать букву s, неизвестно, а выбор букв v и t легко объяснить тем, что они являются первыми буквами французских слов vitesse — «скорость» и temp — «время». Эти обозначения приводят к формуле пути s = vt. Само слово формула переводится с латыни как «форма» или «правило».

Перейти на статью

Единицы измерения

Так же часто, как считать, в жизни приходится выполнять различные измерения. Есть несколько величин, измерять которые приходится чаще всего. Это расстояние, время, масса, температура, скорость, площадь и объем. При измерении каждой из этих величин сначала выбирается единица измерения — мера, а затем с ней сравнивается измеряемая величина.

Перейти на статью

Геометрические фигуры

Геометрия и арифметика — важные части математики. В арифметике в основном занимаются вычислениями, т. е. действиями с числами. Да и само название арифметика произошло от греческого слова арифмос, что в переводе означает «число». Название геометрия происходит от двух греческих слов гео — «земля» и метрео — «измеряю». Геометрия — это наука о фигурах, их свойствах и взаимном расположении.

Перейти на статью

Равенство фигур

Геометрические фигуры могут иметь разную форму, как, например, треугольник и окружность, или остроугольный и тупоугольный треугольники. Если же фигуры имеют одну и ту же форму, они могут отличаться друг от друга своими размерами. Когда и форма, и размеры фигур совпадают, говорят, что фигуры равны. На рисунке выше равны два круга (под буквами «б» и «г»).

Перейти на статью

Сравнение чисел

В ряду натуральных чисел каждое следующее больше предыдущего. И наоборот, предыдущее число в этом ряду меньше последующего. При записи результата сравнения двух чисел словам «больше» и «меньше» соответствуют знаки неравенств: «>» — больше, « 3, 10 неравенствами. Если же числа равны, то между ними ставится знак равенства «=» — равно. 5 = 5, 27 = 27. Такие записи называют равенствами. Правила чтения равенств и неравенств

Перейти на статью

Измерение углов

Нам часто придется иметь дело сразу с несколькими углами. Если один из углов можно наложить на другой так, чтобы они совпали, — углы равны. На рисунке изображены два угла 1 и 2. При наложении угол 1 совпадает с углом 2, следовательно, эти углы равны: ∠1 = ∠2. На рисунке ниже при наложении угла 2 на угол 1 одна сторона совпала, а другая сторона угла 2 оказалась между сторонами угла 1. Это значит, что угол 2 меньше угла 1: ∠2

Перейти на статью