Вопросы и задачи "Длина окружности и площадь круга"

77. а) Как изменится длина окружности, если радиус окружности увеличить в 3 раза? уменьшить в 2 раза? увеличить в k раз? уменьшить в k раз? б) Как изменится длина окружности, если радиус окружности увеличить на 1 см? в) Длина окружности, вписанной в квадрат, равна l. Найдите длину окружности, описанной около этого квадрата. г) Найдите радиус окружности, длина которой равна длине дуги окружности радиуса 24 см с градусной мерой 30º.

Перейти на статью

Вопросы и задачи "Площадь многоугольника"

69. а) Точки M и N — середины сторон AB и AC остроугольного треугольника ABC, отрезки BH и CK — перпендикуляры, проведенные из точек B и C к прямой MN. Докажите, что четырехугольник BCKH и треугольник ABC равносоставлены. б) Найдите периметр квадрата с площадью 25 см2. в) Как изменится площадь прямоугольника, если: две противоположные стороны увеличить в k раз; все стороны увеличить в k раз; две противоположные стороны увеличить в k раз, а две другие стороны уменьшить в k раз?

Перейти на статью

Дополнительные задачи "Площадь"

§ 22 81. Докажите, что многоугольник, описанный около окружности, равносоставлен с прямоугольником, одна из смежных сторон которого равна половине периметра многоугольника, а другая – радиусу окружности. 82. Окружность касается стороны АВ = c и продолжении сторон ВС = a и СА = b треугольника АВС. Докажите, что этот треугольник равновелик прямоугольнику, одна из смежных сторон которого равна ½(a + b – c), а другая – радиусу окружности.

Перейти на статью

Площадь треугольника

Условимся одну из сторон треугольника называть основанием, а под словом «высота» будем подразумевать ту из высот треугольника, которая проведена к этому основанию. Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Доказательство. Рассмотрим треугольник ABC с основанием BC, равным a, и высотой AH, равной h. Докажем, что площадь S треугольника равна ½ a * h.

Перейти на статью

Площадь трапеции

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание. Теорема. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту. Доказательство. Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и BC, высотой BH и площадью S. Докажем, что S = ½ (AD + BC) BH (рис. 85).

Перейти на статью

Площадь четырехугольника

Теорема. Площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей, умноженного на синус угла между содержащими их прямыми. Доказательство. Докажем теорему для выпуклого четырехугольника ABCD (случай невыпуклого четырехугольника рассмотрите самостоятельно). Пусть O — точка пересечения диагоналей четырехугольника, ∠AOB = α (рис. 86). Четырехугольник ABCD составлен из треугольников OAB, OBC, OCD и ODA, поэтому его площадь S равна сумме площадей этих треугольников.

Перейти на статью

Площадь многоугольника

С понятием площади мы часто встречаемся в повседневной жизни. Например, каждый из нас понимает, что означают слова «площадь квартиры равна пятидесяти шести квадратным метрам».

Перейти на статью

Площадь параллелограмма

Условимся одну из сторон параллелограмма называть основанием, а перпендикуляр, проведенный из любой точки противоположной стороны к прямой, содержащей основание, — высотой параллелограмма. Теорема. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Перейти на статью

Некоторые формулы, связанные с правильными многоугольниками

Чтобы получить формулы для вычисления длины окружности и площади круга, нам понадобятся некоторые формулы, связанные с правильными многоугольниками. В 8 классе мы доказали, что около правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну, и в правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну (см. «Введение»). Рассмотрим окружность радиуса R и два правильных n-угольника — вписанный в эту окружность и описанный около нее. Выразим стороны, периметр и площади этих n-угольников через радиус R.

Перейти на статью

Формула Герона

Рассмотрим треугольник ABC со сторонами AB = c, BC = a и CA = b. Выразим его площадь S через a, b и c. Так как S = ½ bc sin A, то достаточно выразить sin A через a, b и c. Из теоремы косинусов следует, что cos A = (1/(2bc)) (b2 + c2 – a2). Учитывая, что sin A > 0, из основного тригонометрического тождества находим: Подкоренное выражение можно разложить на множители:

Перейти на статью

Равносоставленные многоугольники

Если один многоугольник разрезан на части и из них составлен другой многоугольник (так, что внутренние области любых двух частей не имеют общих точек), то исходный и полученный многоугольники называются равносоставленными. Например, квадрат со стороной 1 и равнобедренный прямоугольный треугольни с основанием 2 являются равносоставлеными (рис. 76). Приведем еще два примера равносоставленных многоугольников.

Перейти на статью

Длина окружности

Интуитивно каждый из нас представляет, что такое длина окружности. Например, если окружность сделана из тонкой нерастяжимой нити, то, разрезав нить в какой-нибудь ее точке и распрямив ее, мы получим отрезок, длина которого равна длине окружности.

Перейти на статью

Площадь круга

Выведем формулу площади круга радиуса R. Для этого рассмотрим правильный 2n-угольник, описанный около окружности, ограничивающей круг (рис. 90, а), и правильный 2n-угольник, вписанный в эту окружность (рис. 90, б). Их площади Sоп и Sвп выражаются формулами вида (5) и (6): Sоп = ½ QnR, Sвп = ½ QnR cos2 180º/2n,

Перейти на статью

Глава 7. Векторы и координаты

Эта глава посвящена векторно-координатному методу в геометрии, т. е. использованию векторов и координат. С понятием декартовой прямоугольной системы координат вы знакомы по курсу алгебры. Введение системы координат позволяет описывать геометрические фигуры, в частности окружности и прямые, с помощью уравнений, что дает возможность применять в геометрии алгебраические методы. Так, например, написав уравнения двух данных прямых, можно по виду этих уравнений установить, пересекаются эти прямые или нет.

Перейти на статью

Задачи повышенной трудности "Векторы и координаты"

151. Докажите, что точки A, B и C лежат на одной прямой, причем точка B лежит между точками A и C тогда и только тогда, когда для любой точки M имеет место равенство MA2 * BC + MC2 * AB – MB2 * CA = AB * BC * CA. 152. Четырехугольники ABCD, AEFG, ADFH, FIJE и BIJC — параллелограммы. Докажите, что четырехугольник AFHG также является параллелограммом. 153. Докажите, что четыре точки, симметричные произвольной точке относительно середин сторон данного четырехугольника, являются вершинами параллелограмма.

Перейти на статью

Глава 9. Некоторые сведения из стереометрии

Эта небольшая глава является введением в стереометрию, т. е. ту часть геометрии, в которой изучаются геометрические фигуры в пространстве. Представление о таких фигурах дают окружающие нас предметы. Мы расскажем о некоторых видах многогранников (пирамида, призма, параллелепипед, правильные многогранники) и о простейших телах и поверхностях вращения (цилиндр, конус, сфера, шар). Будут приведены формулы для вычисления объемов и площадей поверхностей некоторых тел, а также рассмотрены задачи на построение сечений параллелепипеда.

Перейти на статью

Глава 8. Площадь

Каждому из нас знакомы такие слова: «площадь комнаты равна 16 квадратным метрам», «площадь садового участка — 6 соток». В этой главе речь пойдет о том, как измеряются площади геометрических фигур, будут выведены формулы, по которым можно вычислить площади прямоугольника, треугольника, параллелограмма, трапеции, круга. Некоторые их этих формул вы уже знаете. Например, вам известна формула площади прямоугольника. Но здесь мы дадим обоснование этой и ряда других формул.

Перейти на статью

Проектные и исследовательские задачи по геометрии, 9 класс

Проектные задачи Проектные задачи выполняются с использованием учебно-методического комплекта «Живая математика». Глава 7 1. а) Задайте систему координат и постройте точки A (3; 6), B (2; 9), C (7, 8) и D (8; 5). б) Отметьте точку пересечения отрезков AC и BD и измерьте ее координаты. 2. а) Проведите прямую и отметьте ее как ось отражения. б) Отметьте точку и отразите ее относительно отмеченной оси. в) Постройте два отрезка, общим концом которых служит отмеченная точка, и отразите их относительно отмеченной оси.

Перейти на статью

Задачи с практическим содержанием по геометрии, 9 класс

Глава 7 1. Пловец переплывает реку шириной 50 м за 1 мин 40 с. Скорость течения реки равна 1 м/с. Найдите: а) тангенс угла между вектором скорости реки и направлением результирующего движения пловца (с учетом сноса по течению); б) величину скорости движения пловца в этом направлении.

Перейти на статью