Геометрия, 9 кл.

Мы говорили, что осевая симметрия является отображением, сохраняющим расстояния. Любое отображение, обладающее этим свойством, называется движением. Таким образом, движение плоскости — это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния. Из этого определения следует, что результат последовательного выполнения двух движений является движением (объясните почему). В частности, последовательное выполнение двух осевых симметрий является движением, сохраняющим не только величину угла, но и его ориентацию.

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Oxy. Выведем уравнение прямой, проходящей через точку M0 (x0; y0) перпендикулярно к нулевому вектору {a; b} (рис. 52).

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Oxy и дана какая-нибудь линия L (рис. 50). Равенство, содержащее координаты точек, называется уравнением линии L в заданной системе координат, если ему удовлетворяют координаты любой точки M (x; y) линии L и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на линии L.

Координатами вектора в прямоугольной системе координат называются числа, равные разностям соответствующих координат его конца и начала. Координаты x и y вектора записывают в фигурных скобках после обозначения вектора: {x; y}; при этом говорят, что вектор имеет координаты {x; y}.

Если проведены две взаимно перпендикулярные оси координат Ox и Oy с общим началом O (рис. 37) и выбрана единица измерения отрезков, то говорят, что задана прямоугольная система координат. Оси Ox и Oy называются соответственно осью абсцисс и осью ординат, а точка O — началом координат. Система координат обозначается как: Oxy.

Пусть O — данная точка, k — данное число, отличное от нуля. Центральным подобием (или гомотетией) с центром O и коэффициентом k называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка M переходит в такую точку M1, что = k. Сформулируем утверждение об основном свойстве центрального подобия.

220. Прямые AB и CD не пересекаются и не параллельны. Могут ли прямые AC и BD быть параллельными? 221. В тетраэдре ABCD углы ADB, ADC и BDC прямые. Докажите, что квадрат площади грани ABC равен сумме квадратов площадей остальных граней (пространственная теорема Пифагора). 222. В тетраэдре ABCD сумма углов с вершиной A (т. е. углов BAC, CAD и DAB) равна 180º. Докажите, что грани этого тетраэдра равны друг другу. 223. Изобразите куб и постройте такое его сечение, которое является: а) правильным треугольником; б) квадратом; в) правильным шестиугольником.

182. Каждая сторона одного треугольника больше любой стороны другого треугольника. Следует ли из этого, что площадь первого треугольника больше площади второго треугольника? 183. а) Внутри равностороннего треугольника ABC отмечена точка M. Докажите, что сумма расстояний от точки M до прямых AB, BC и CA равна высоте треугольника. б) Внутри правильного шестиугольника ABCDEF отмечена точка M. Докажите, что сумма площадей треугольников ABM, CDM и EFM равна сумме площадей треугольников BCM, DEM и FAM.

121. а) Найдите объем цилиндра, радиус которого равен 2 см, а высота равна радиусу. б) Призма называется вписанной в цилиндр, если ее основания вписаны в основания цилиндра. Найдите отношение объема правильной шестиугольной призмы, вписанной в цилиндр, к объему цилиндра. в) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра радиуса 2 см, если его высота вдвое больше длины окружности основания. г) Найдите отношение площадей боковых поверхностей двух цилиндров, первый из которых получен вращением прямоугольника АВСD вокруг прямой АВ, а второй – вращением вокруг прямой ВС.

117. а) Тело T, объем которого равен V, составлено из трех тел: T1, T2 и T3. Сумма объемов тел T1 и T2 равна V1, а сумма объемов тел T2 и T3 равна V2. Найдите объем тела T2. б) Докажите, что боковые грани правильной пирамиды являются равными друг другу равнобедренными треугольниками. в) Найдите площадь грани ABC тетраэдра ABCD, если ∠ADB = ∠BDC = ∠CDA = 90º и DA = DB = DC = 6 см. г) Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды PABCD, если ее высота равна h и ∠PAB = α.

§ 24 127. Докажите, что сумма квадратов ребер тетраэдра в 4 раза больше суммы квадратов отрезков, соединяющих середины его противоположных ребер. 128. Докажите, что прямые, проходящие через вершины тетраэдра и точки пересечения медиан противоположных граней, пересекаются в одной точке. 129. Найдите площадь сечения правильной четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через вершины В и D и середину ребра C1D1, если АС = 12 и АА1 = 4.

До сих пор мы занимались планиметрией — изучали свойства геометрических фигур на плоскости. Раздел школьного курса геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве, называется стереометрией.

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки (рис. 112). Данная точка называется центром сферы (точка O на рисунке 112), а отрезок, соединяющий центр сферы с какой-либо ее точкой, – радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы. Поскольку центр сферы является серединой диаметра, то диаметр сферы радиуса R равен 2R.

Многогранник, называемой пирамидой, можно построить так.

Чтобы описать многогранник, называемый призмой, нам потребуются понятия параллельности двух плоскостей и двух прямых в пространстве. Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (например, плоскости пола и потолка комнаты). Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Выпуклый многогранник (т. е. многогранник, лежащий по одну сторону от плоскости каждой своей грани) называется правильным, если все его грани — равные правильные многоугольники и, кроме того, к каждой его вершине сходится одно и то же число ребер. Примером правильного многогранника является куб: все его грани — равные квадраты, и к каждой вершине сходятся три ребра.

При построении сечений параллелепипеда мы будем руководствоваться следующим правилом (оно будет обосновано в курсе стереометрии): отрезки, по которым секущая плоскость пересекает две противоположные грани параллелепипеда, параллельны. Рассмотрим два примера. Задача. На ребрах параллелепипеда отмечены точки A, B и C так, как показано на рисунке 104, а. Требуется построить сечение параллелепипеда плоскостью ABC (т. е. плоскостью, проходящей через точки A, B и C).

Рассмотрим прямоугольник OO1M1M и представим себе, что он вращается вокруг своей стороны OO1. В результате получается тело, которое называется цилиндром (рис. 107).

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOP и представим себе, что он вращается вокруг катета OP. В результате получается тело, которое называется конусом (рис. 110).

1. Какие многоугольники называются равносоставленными? 2. Докажите, что треугольник равносоставлен с прямоугольником. одна из смежных сторон которого равна половине периметра треугольника, а другая – радиусу вписанной в него окружности. 3. Расскажите, как измеряются площади многоугольников. Что такое квадратный сантиметр? 4. Какие свойства площадей называются основными? 5. Какие многоугольники называются равновеликими? В чем заключается теорема Бойяи–Гервина? 6. Сформулируйте и докажите теорему о площади прямоугольника.