Осевая симметрия

Пусть a — данная прямая. Каждой точке M сопоставим симметричную ей относительно прямой a точку M1 (рис. 67). В результате каждой точке M будет сопоставлена некоторая точка M1, и каждая точка M1 окажется сопоставленной некоторой точке M, т. е., как говорят, будет задано отображение плоскости на себя. Оно называется осевой симметрией, а прямая a — осью симметрии. Осевая симметрия является отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояние между точками. Поясним смысл этих слов.

Перейти на статью

Ось координат

Рассмотрим произвольную прямую l и отметим на ней какую-нибудь точку O (рис. 35, а). Точка O разделяет прямую l на два луча. Выберем один из них и назовем его положительной полуосью (на рисунке 35, а она отмечена стрелкой), а другой луч — отрицательной полуосью. Если, кроме того, выбрана единица измерения отрезков, то прямая l с выбранной положительной полуосью называется осью координат. Точка O называется началом координат. Ось координат с началом O обычно обозначают так: Ox.

Перейти на статью

Вопросы для повторения "Введение в стереометрию"

Какая поверхность называется многогранником? Что такое грани, ребра, вершины и диагонали многогранника? Приведите примеры многогранников. Какая плоскость называется секущей плоскостью данного тела? Что такое сечение тела? Какие свойства объемов тел называются основными? Объясните, какой многогранник называется n-угольной пирамидой. Что такое основание, боковые грани, вершина, боковые ребра и высота пирамиды? Какая пирамида называется правильной? Какой формулой выражается объем пирамиды?

Перейти на статью

Заключение к учебнику геометрии, 9 класс

Вы закончили путешествие по замечательной стране с названием «Планиметрия». Надеемся, что вам понравились ее достопримечательности и многие из них вы надолго сохраните в своей памяти. Не сомневаемся, что вы испытывали большое удовлетворение, когда удавалось решить трудную геометрическую задачу. Надеемся также, что геометрия помогла вам развить логическое мышление, потребность обосновывать высказанные утверждения, и не только математические.

Перейти на статью

Вектор

Некоторые физические величины, например сила и скорость, задаются не только своим числовым значением (при выбранной единице измерения), но и направлением в пространстве. Такие физические величины называют векторными величинами или коротко — векторами.

Перейти на статью

Сумма векторов

Пусть и — данные векторы (рис. 56, а). Отложим от точки B вектор , равный вектору (рис. 56, б). Вектор , и также любой равный ему вектор, называется суммой векторов и .

Перейти на статью

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению их длин, умноженному на косинус угла между векторами; скалярное произведение двух векторов, хотя бы один из которых нулевой, считается равным нулю.

Перейти на статью

Произведение вектора на число

Возьмем ненулевой вектор и число k ≠ 0. Построим такой вектор , что его длина равна |k|MA, и точка B при k > 0 лежит на луче MA, а при k , и также любой равный ему вектор, называется произведением вектора на число k. Произведением нулевого вектора на любое число и любого вектора на число 0 считается нулевой вектор.

Перейти на статью

Длина вектора и расстояние между двумя точками

Теорема. Длина вектора равна корню из суммы квадратов его координат. Доказательство. Пусть {x; y} — данный вектор. Докажем, что Отложим от начала координат вектор = (рис. 46). Поскольку координаты точки O равны (0; 0), то координаты точки A равны (x; y).

Перейти на статью

Дополнительные задачи "Векторы и координаты"

§ 19 31. Четырехугольники ABCD и A1BC1D — параллелограммы. Докажите, что . 32. Треугольники ABC и AB1C1 имеют общую медиану AM. Докажите, что . 33. Напишите уравнение окружности с центом на оси ординат, проходящей через точки A (3; 8) и B (–4; 1). 34. Является ли отрезок с концами A (–3; 4) и B (–7; –4) диаметром окружности (x + 5)2 + y2 = 20?

Перейти на статью

Вопросы для повторения "Векторы и координаты"

1. Объясните, что такое ось координат, начало координат, положительная полуось, отрицательная полуось. 2. Что называется координатой точки, лежащей на оси координат? 3. Докажите, что координата середины отрезка, лежащего на оси координат, равна полусумме координат концов этого отрезка. 4. Объясните, как вводится прямоугольная (декартова) система координат. Как называются оси координат? 5. Объясните, как определяются координаты точки в заданной прямоугольной системе координат. Как называются координаты точки?

Перейти на статью

Вопросы и задачи "Геометрические преобразования"

23. а) Постройте фигуру, на которую отображается данный треугольник при симметрии относительно прямой, содержащей биссектрису одного из его внешних углов. б) Докажите, что при осевой симметрии прямая, параллельная оси, отображается на прямую, параллельную оси. в) Точки A и B лежат по одну сторону от прямой a. На прямой a постройте точку M, для которой сумма MA + MB принимает наименьшее значение. 24. а) Постройте фигуру, на которую отображается данный четырехугольник при симметрии относительно данной оси.

Перейти на статью

Вопросы и задачи "Координаты точки и координаты вектора"

1. а) Найдите координаты вершин равнобедренного треугольника ABC, изображенного на рисунке 55, если AO = a и CO = h. б) Точка A лежит на положительной полуоси Ox, а точка B — на отрицательной полуоси Oy. Найдите координаты точки M пересечения диагоналей прямоугольника OACB, если OA = 4 и OB = 5. в) Точка M — середина отрезка AB. Найдите координаты точки A, если B (4; 7) и M (–3; –2). г) Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если A (0; 0), B (3, 4) и C (5; 9).

Перейти на статью

О подобии произвольных фигур

Центральное подобие является частным случаем так называемого преобразования подобия. Преобразованием подобия с коэффициентом k > 0 называется отображение плоскости на себя, при котором любые две точки A и B переходят в такие точки A1 и B1, что A1B1 = kAB. Примерами преобразования подобия являются движение (при этом k = 1), центральное подобие, а также результат их последовательного выполнения. Преобразование подобия часто используется в геометрии. С его помощью можно ввести понятие подобия произвольных фигур:

Перейти на статью