Описанная окружность

Если все вершины треугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около треугольника, а треугольник называется вписанным в окружность. Докажем теорему об окружности, описанной около треугольника. Теорема. Около любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Перейти на статью

Глава 6. Решение треугольников

В этой главе мы снова возвращаемся к треугольникам. Название главы таит в себе такой смысл: решить треугольник — это значит по каким-то его элементам найти другие элементы. Для этого используются различные формулы, связанные с тригонометрическими функциями угла — синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом. Что это такое — вы и узнаете в данной главе. Тригонометрические функции играют важную роль не только в геометрии, но и в других науках, архитектуре, технике.

Перейти на статью

Задачи повышенной трудности "Параллельность"

198. Две окружности пересекаются в точках A и B. Через эти точки проведены секущие MP и CD, не пересекающиеся внутри ни одной из окружностей (точки M и C лежат на одной окружности, а точки P и D – на другой). Докажите, что MC || PD. 199. Две окружности пересекаются в точках A и P. Через точку A проведена касательная к первой окружности, пересекающая вторую окружность в точке B, а через точку P – прямая, параллельная прямой AB и пересекающая вторую и первую окружности в точках C и D. Докажите, что AB = CD.

Перейти на статью

Исследовательские задачи по геометрии

Придумайте такое условие параллельности двух данных прямых, которое является: а) необходимым, но недостаточным; б) достаточным, но не необходимым. Исследуйте, при каком условии задача о построении треугольника. а) по трем медианам; б) по трем высотам имеет решение. Постройте треугольник по углу A и сторонам AC и BC и исследуйте, при каком условии задача: а) имеет решение; б) имеет единственное решение; в) имеет два решения; г) не имеет решений.

Перейти на статью

Задачи по геометрии с практическим содержанием

Глава 4 1. С помощью одного лишь угольника (рис. 117) проведите через данную точку прямую, параллельную данной прямой. 2. С помощью одного лишь угольника постройте середину данного отрезка. 3. На листе бумаги нарисованы отрезки двух лучей, образующих угол, вершина которого лежит вне листа. С помощью циркуля и линейки постройте ту часть биссектрисы этого угла, которая лежит на листе бумаги.

Перейти на статью

Глава 5. Многоугольники

До сих пор мы рассматривали самые простые многоугольники — треугольники и прямоугольники. В этой главе перейдем к изучению свойств более сложных многоугольников: различных четырехугольников, а также правильных многоугольников. Многие из этих фигур обладают симметрией. Симметрия играет важную роль не только в геометрии, но и в других науках, в архитектуре, искусстве, технике. Симметричные предметы вы не раз видели в природе и окружающей обстановке — узоры на коврах и обоях комнаты, рисунок на крыльях бабочки, цветы, фасады зданий, различные шестеренки и многое другое.

Перейти на статью

Глава 4. Параллельность

Представим себе две прямые на плоскости. Они могут пересекаться, в частности, под прямым углом, но могут и не пересекаться. Непересекающиеся прямые называются параллельными. Параллельные прямые (а точнее, отрезки параллельных прямых) мы видим на каждом шагу — два противоположных края прямоугольного стола, строчки текста, две рельсы, нотный стан и т. д. Параллельные прямые используют, например, в архитектуре и технике, столярном деле и кройке, физике и черчении. В геометрии параллельные прямые играют не меньшую роль, чем перпендикулярные.

Перейти на статью

Проектные задачи по геометрии

Проектные задачи выполняются с использованием учебно-методического комплекта «Живая математика». Глава 4 1. а) Научитесь строить прямую, проходящую через данную точку и параллельную данной прямой. б) Нарисуйте треугольник ABC, проведите биссектрисы углов B и C и отметьте их точку пересечения. в) Через точку пересечения биссектрис углов B и C треугольника ABC проведите прямую, параллельную прямой BC, и отметьте точки P и Q, в которых эта прямая пересекает стороны AB и AC.

Перейти на статью

Заключение к учебнику геометрии

Как и в конце 7 класса, полезно теперь подвести итоги по 8 классу. Вы узнали много нового о геометрических фигурах, и не только о треугольниках и окружностях, которые были в центре нашего внимания в 7 классе, но и о различных видах четырехугольников, а также о правильных многоугольниках. Вы знаете теперь, что такое тригонометрические функции угла и как они помогают изучать свойства геометрических фигур и решать геометрические задачи Все изученное в 8 классе понадобится и в 9 классе, где вы продолжите заниматься планиметрией, и затем в старших классах, когда вы будете изучать стереометрию.

Перейти на статью

Об аксиомах и основных понятиях геометрии

Основные понятия. Ранее (и. 45) мы говорили о том, что не все утверждения можно доказать. Некоторые из них, самые очевидные, принимаются в качестве исходных положений (аксиом), а затем уже на их основе доказываются теоремы и вообще строится вся геометрия В связи с этим возникает вопрос можно ли дать определения всем понятиям, которыми мы пользуемся в геометрии? Например, отрезком АВ мы назвали геометрическую фигуру, состоящую из двух данных точек А и В и всех точек прямой АВ, лежащих между точками А и В. Таким образом, отрезок определяется с помощью трех понятий.

Перейти на статью