Правильные многоугольники

Выпуклый многоугольник называется правильным, если равны все его стороны и равны все его углы. Примерами правильных многоугольников являются равносторонний треугольник и квадрат. На рисунке 50 изображены правильные пятиугольник, шестиугольник и семиугольник. Докажем теорему об окружности, описанной около правильного многоугольника. Теорема. Около правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Перейти на статью

Четырехугольник

Четырехугольник имеет четыре вершины, четыре стороны и две диагонали (рис. 46). Две вершины четырехугольника, являющиеся концами одной и той же диагонали, называются противоположными; две несмежные стороны четырехугольника также называются противоположными. На рисунке 46 противоположными вершинами являются A1 и A3, A2 и A4, а противоположными сторонами – A1A2 и A3A4, A2A3 и A4A1.

Перейти на статью

Признаки параллелограмма

Рассмотрим три признака параллелограмма. Теорема. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Доказательство. Рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором AB = CD и AB || CD, и докажем, что этот четырехугольник — параллелограмм.

Перейти на статью

Свойства параллелограмма

Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны. Докажем, что параллелограмм — выпуклый четырехугольник. Рассмотрим параллелограмм ABCD (рис. 54) и докажем, например, что он лежит по одну сторону от прямой AB.

Перейти на статью

Свойства ортоцентра треугольника

Докажем сначала, что точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно середин его сторон, лежат на окружности, описанной около этого треугольника, и диаметрально противоположны его вершинам. Проведем доказательство этого утверждения для точки, симметричной ортоцентру треугольника ABC относительно середины стороны BC. Рассмотрим сначала случай, когда ∠B ≠ 90º и ∠C ≠ 90º. Пусть BB1, CC1 — высоты треугольника ABC, H — его ортоцентр (рис. 80, а).

Перейти на статью

Средняя линия треугольника

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон (рис. 73, а). Докажем теорему о средней линии треугольника. Теорема. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. Доказательство. Пусть M и N — середины сторон BA и BC треугольника ABC (см. рис. 73, а). Докажем, что MN || AC и MN = ½AC.

Перейти на статью

Средняя линия трапеции

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон (рис. 74, а). Докажем теорему о средней линии трапеции. Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Доказательство. Пусть MN — средняя линия трапеции ABCD (см. рис. 74, а). Докажем, что MN || AD и MN = ½(AD + BC).

Перейти на статью

Теорема о пересечении медиан треугольника

Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины. Доказательство. Рассмотрим треугольник ABC с медианами AA1, BB1, CC1 и обозначим буквой G точку пересечения медиан AA1 и BB1 (рис. 77). Докажем, что медиана CC1 проходит через точку G и точка G делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Перейти на статью

Окружность Эйлера

Докажем одну из самых красивых теорем геометрии — теорему об окружности Эйлера. Теорема. В неравностороннем треугольнике середины сторон, основания высот и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника, лежат на одной окружности, центром которой является середина отрезка, соединяющего ортоцентр с центром описанной окружности, а ее радиус в два раза меньше радиуса описанной окружности.

Перейти на статью

Выпуклый многоугольник

Рассмотрим фигуру, составленную из отрезков A1A2, A2A3, …, An-1An так, что смежные отрезки, т. е. A1A2 и A2A3, A2A3 и A3A4, …, не лежат на одной прямой. Точки A1 и An могут быть различными (рис. 38, а), а могут совпадать (рис. 38, б). Такая фигура, составленная из отрезков, называется ломаной. Если точки A1 и An совпадают, то ломаная называется замкнутой (см. рис.

Перейти на статью

Теорема о пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника

В пункте 46 мы доказали, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Оказывается, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника также пересекаются в одной точке. Теорема. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Доказательство. Обозначим буквой O точку пересечения серединных перпендикуляров c и a к сторонам AB и BC треугольника ABC (рис. 33). Докажем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к стороне AC.

Перейти на статью

Вписанная окружность

Если все стороны треугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в треугольник, а треугольник называется описанным около окружности. Докажем теорему об окружности, вписанной в треугольник. Теорема. В любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Перейти на статью

Дополнительные задачи "Параллельность"

§ 11 13. На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены точки D и E так, что AD = DE и ∠BAE = ∠CAE. Докажите, что DE || AC. 14. Серединный перпендикуляр к биссектрисе AD треугольника ABC пересекает сторону AB в точке E. Докажите, что DE || AC. 15. В четырехугольнике ABCD стороны AB и BC, CD и DA равны. На стороне BC отмечена точка M так, что DM = MB. Докажите, что DM || AB. 16*. Даны прямые a и b. Докажите, что если любая прямая, пересекающая прямую a, пересекает и прямую b, то a || b.

Перейти на статью

Вопросы и задачи "Вписанная и описанная окружности"

9. а) Биссектрисы AA1 и BB1 треугольника ABC пересекаются в точке O, причем CO = 10 см и ∠C = 60º. Найдите расстояние от точки O до прямой AC. б) В треугольник ABC вписана окружность с центром O. Найдите угол BOC, если ∠A = 2α. в) Стороны AB, BC и CA треугольника ABC, равные 6 см, 10 см и 14 см, касаются окружности в точках D, E и F. Найдите AD, DB, BE, EC, CF и FA. г) На сторонах AB и AC треугольника ABC, описанного около окружности с центром O, отмечены точки D и E так, что OD || AC и OE || AB. Докажите, что AD = DO = OE = EA.

Перейти на статью

Вопросы и задачи "Параллельные прямые"

1. а) Параллельны ли прямые a и b, изображенные на рисунке 26, если ∠3 = ∠5; ∠3 = ∠7; ∠3 + ∠6 = 180º; ∠3 = ∠6 = 90º? Ответ обоснуйте. б) Вершины A и D равных треугольников ABC и BCD лежат по разные стороны от прямой BC, причем AC = BD. Докажите, что AB || CD. в) Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противоположной основанию, параллельна основанию. г) Исходя из рисунка 27, докажите, что BC || AD. д) На стороне AB треугольника ABC отмечена точка M, равноудаленная от концов его биссектрисы AD. Докажите, что DM || AC.

Перейти на статью

Вопросы для повторения "Параллельность"

Дайте определение параллельных прямых. Посмотрите на рисунок 12 и назовите накрест лежащие, соответственные и односторонние углы. Докажите, что две прямые параллельны, если при пересечении их секущей: а) накрест лежащие углы равны; б) соответственные углы равны; в) сумма односторонних углов равна 180º. Сформулируйте и докажите основную теорему о параллельных прямых. Докажите, что если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Перейти на статью

Признаки параллельности двух прямых

В 7 классе мы говорили о том, что две прямые либо имеют только одну общую точку, т. е. пересекаются, либо не имеют общих точек, т. е. не пересекаются. Определение Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Перейти на статью

Свойства параллельных прямых

В пункте 41 мы установили, что если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны. Справедливо и обратное утверждение. Теорема. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны. Доказательство. Рассмотрим параллельные прямые a и b, пересеченные секущей AB, и докажем, что накрест лежащие углы 1 и 2 (рис. 19, а) равны.

Перейти на статью

Основная теорема о параллельных прямых

Докажем основную теорему о параллельных прямых. Теорема. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна. Доказательство. Пусть a — данная прямая, M — точка, не лежащая на этой прямой. Докажем сначала, что через точку M проходит прямая, параллельная прямой a.

Перейти на статью

Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами

Теорема. Два угла с соответственно параллельными сторонами либо равны, либо составляют в сумме 180º. Доказательство. Рассмотрим углы AOB и A1O1B1 с соответственно параллельными сторонами: OA || O1A1, OB || O1B1. Докажем, что эти углы либо равны, либо составляют в сумме 180º.

Перейти на статью