Теоремы об отрезках пересекающихся хорд и о квадрате касательной

Теорема. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Доказательство. Пусть E — точка пересечения хорд AB и CD (рис. 110). Докажем, что AE * BE = CE * DE.

Перейти на статью

Золотое сечение

Рассмотрим отрезок AB и точку M, лежащую на нем. Говорят, что отрезки AM и MB образуют золотое сечение, если AM/AB = MB/AM (рис. 96), т. е. отношение большей части отрезка ко всему отрезку равно отношению меньшей части к большей. Это отношение принято обозначать греческой буквой φ (фи). Поскольку AM = φAB, MB = φAM = φ2AB и AM + MB = AB, то φAB + φ2AB = AB, откуда для числа φ получается квадратное уравнение φ + φ2 = 1, положительный корень которого выражается равенством φ = (√5 – 1)/2.

Перейти на статью

Решение треугольников

Решением треугольников называется нахождение всех его элементов (т. е. трех сторон и трех углов) по каким-либо трем данным элементам, определяющим треугольник.

Перейти на статью

Теорема косинусов

Докажем одну из важнейших теорем геометрии — теорему косинусов. Теорема. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон, умноженное на косинус угла между ними. Доказательство. Рассмотрим треугольник ABC со сторонами AB = c, BC = a, CA = b. Докажем, например, что a2 = b2 + c2 – 2bc cos A.

Перейти на статью

Косинус острого угла

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение катета, прилежащего к этому углу, к гипотенузе. Косинус острого угла α прямоугольного треугольника обозначается символом cos α (читается «косинус альфа»). На рисунке 89 катет AC является прилежащим к углу A, поэтому косинус угла A равен отношению AC/AB, т. е. cos A = AC/AB.

Перейти на статью

О построении треугольника по трем сторонам

Вернемся к вопросу, поставленному еще в 7 классе: всегда ли можно построить треугольник, стороны которого равны данным отрезкам, если каждый из данных отрезков меньше суммы двух других? Пусть данные отрезки равны a, b и c (рис. 104, а). Чтобы построить треугольник со сторонами, равными этим отрезкам, поступим так: на произвольной прямой отложим отрезок AB, равный c, и проведем две окружности – с центром A радиуса b и с центром B радиуса a. Если эти окружности пересекутся в некоторой точке C (рис. 104, б), то треугольник ABC искомый. Докажем, что указанные окружности пересекутся.

Перейти на статью

Взаимное расположение двух окружностей

Исследуем взаимное расположение двух окружностей радиусов r1 и r2 с центрами O1 и O2 в зависимости от расстояния d между их центрами (рис. 105). Для определенности будем считать, что радиус первой окружности не меньше радиуса второй окружности (r1 ≥ r2). Рассмотрим все возможные случаи.

Перейти на статью

Задачи повышенной трудности "Решение треугольников"

246. Из вершины прямого угла C прямоугольного треугольника ABC проведен перпендикуляр CD к гипотенузе, а из точки D — перпендикуляры DE и DF к катетам AC и BC. Докажите, что CD3 = AB * AE * BF и AE2 + BF2 + 3CD2 = AB2. 247. Дан треугольник ABC. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых MB2 + AC2 = MC2 + AB2.

Перейти на статью

Задачи повышенной трудности "Многоугольники"

214. Сколько углов, меньших 10º, может иметь выпуклый многоугольник? 215. Пять углов выпуклого многоугольника равны 140º каждый, а остальные углы – острые. Найдите число сторон этого многоугольника. 216. Дан выпуклый шестиугольник A1A2A3A4A5A6, все углы которого равны. Докажите, что A1A2 – A4A5 = A5A6 – A2A3 = A3A4 – A6A1.

Перейти на статью

Трапеция

Трапецией называется четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а две другие стороны — боковыми сторонами трапеции (рис. 66). Можно доказать (задача 110), что трапеция является выпуклым четырехугольником. Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны (рис. 67, а). Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной (рис. 67, б).

Перейти на статью

Теорема Фалеса

Воспользуемся утверждениями пунктов 59 и 60 для доказательства следующей теоремы. Теорема. Если на одной из сторон угла от его вершины отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие другую сторону угла, то они отсекут на второй стороне равные меду собой отрезки.

Перейти на статью

Дополнительные задачи "Многоугольники"

§ 13 67. Найдите углы выпуклого четырехугольника, если три угла равны, а четвертый вдвое больше каждого из них. 68. Докажите, что в любом выпуклом четырехугольнике найдутся два соседних угла, сумма которых: а) не меньше 180º; б) не больше 180º. 69. Докажите, что в любом выпуклом n-угольнике при n ≥ 5: а) найдутся два соседних угла, сумма которых больше 180º; б) найдется не более трех нетупых углов. 70. Сумма углов выпуклого 2n-угольника в k раз больше суммы углов выпуклого n-угольника, где k — натуральное число. Найдите k и n.

Перейти на статью

Вопросы и задачи "Теорема Фалеса"

61. а) Точки A1, B1 и C1 — середины сторон треугольника ABC, в котором AB = 5 см, BC = 9 см и CA = 12 см. Найдите периметр треугольника A1B1C1. б) Точки A1, B1 и C1 — середины сторон BC, CA и AB треугольника ABC. Докажите, что ΔAB1C1 = ∆BC1A1 = ∆CA1B1 = ∆A1B1C1.

Перейти на статью

Вопросы и задачи "Параллелограмм и трапеция"

49. а) Диагонали параллелограмма ABCD, равные 5 см и 11 см, пересекаются в точке O. Найдите периметр треугольника BCO, если AD = 7 см. б) Сторона AB параллелограмма ABCD вдвое больше высоты CH треугольника ACD. Найдите углы этого параллелограмма. в) Докажите, что биссектрисы двух противоположных углов параллелограмма с неравными смежными сторонами параллельны. г) Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке E. Найдите EC, если AB = 5 см и AD = 7 см.

Перейти на статью

Вопросы и задачи "Многоугольник"

43. а) Дан выпуклый пятиугольник ABCDE, в котором ∠ACB = ∠ADE, ∠ACD = ∠ADC и ∠BAC = ∠DAE. Докажите, что периметры четырехугольника ABCD и ACDE равны. б) Найдите сумму углов выпуклого семиугольника. в) Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его углов равна 720º? г) При каждой вершине выпуклого n-угольника взяты оба внешних угла. Найдите сумму этих углов. д) Стороны AB и CD выпуклого шестиугольника ABCDEF равны и ∠BAD = ∠CDA. Сравните периметры пятиугольников ABDEF и ACDEF. е) Сколько диагоналей имеет n-угольник?

Перейти на статью

Симметрия

Точки A и A1 называются симметричными относительно точки O, если точка O — середина отрезка AA1 (рис. 68, а). Точка O считается симметричной самой себе. На рисунке 68, б точки A и A1, B и B1 симметричны относительно точки O, а точки C и D не симметричны относительно этой точки, так как OC ≠ OD.

Перейти на статью

Ромб

Ромбом называется параллелограмм, все стороны которого равны. Ромб является параллелограммом и поэтому обладает всеми свойствами параллелограмма. Но у него есть и особое свойство: диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. Обратимся к рисунку 63, на котором изображен ромб ABCD. Докажем, что AC ⊥ BD и каждая диагональ делит углы ромба пополам.

Перейти на статью