Признаки прямоугольника

Теорема. Если один из углов параллелограмма прямой, то этот параллелограмм — прямоугольник. Доказательство. Пусть в параллелограмме ABCD угол A прямой (рис. 61). Докажем, что параллелограмм ABCD — прямоугольник, т. е. все его углы прямые. Поскольку противоположные углы параллелограмма равны, то ∠C = ∠A = 90°, ∠B = ∠D = ½ (360° – ∠A – ∠C) = 90°. Таким образом, все углы четырехугольника ABCD — прямые. Теорема доказана.

Перейти на статью

Вопросы для повторения "Параллельность"

Объясните, какая фигура называется ломаной. Какая ломаная называется замкнутой? Какая ломаная называется простой? Какая фигура называется многоугольником? Что такое стороны, вершины и диагонали многоугольника? Какой многоугольник называется: вписанным в окружность; описанным около окружности? Какой многоугольник называется выпуклым? Объясните, какие углы называются углами выпуклого многоугольника. Выведите формулу суммы углов выпуклого n-угольника. Чему равна сума его внешних углов?

Перейти на статью

Теорема о пересечении биссектрис треугольника

В этом пункте мы вернемся к одному из вопросов, возникших в 7 классе: верно ли, что три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке? Теперь можно ответить на этот вопрос. Теорема. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Доказательство. Обозначим буквой O точку пересечения биссектрис AA1 и BB1 треугольника ABC (рис. 31, а). Докажем, что точка O лежит на биссектрисе CC1.

Перейти на статью

Об аксиомах геометрии

В учебнике 7 класса при доказательстве утверждения о сумме острых углов прямоугольного треугольника мы исходили из того, что существует прямоугольник, две смежные стороны которого равны данным отрезкам. А откуда следует, что такой прямоугольник существует? Чтобы ответить на этот вопрос, попытаемся построить прямоугольник с заданными сторонами a и b.

Перейти на статью

Историческая справка по геометрии

Аксиомы геометрии, «Начала» Евклида и геометрия Лобачевского. Основные принципы аксиоматического построения науки впервые отчетливо сформулировал Аристотель, развивая учения Пифагора и Платона. Аристотель отмечал, что при доказательстве того или иного утверждения мы опираемся на ранее установленные факты. Поэтому те положения, с которых мы начинаем построение науки, не могут быть логически доказаны – их следует принять в качестве аксиом. (Слово «аксиома» происходит от греческого слова «достойный».)

Перейти на статью

Введение к учебнику геометрии, 8 класс

Мы продолжаем изучение свойств геометрических фигур на плоскости, познакомимся с новыми фигурами и их свойствами, введем новые понятия. При этом мы будем опираться на то, что вы узнали из учебника геометрии 7 класса. Напомним утверждения, доказанные в этом учебнике. В первой главе рассматривались простейшие геометрические фигуры: точки, прямые, отрезки, лучи, углы. В этой главе мы доказали следующие утверждения: сумма смежных углов равна 180°; вертикальные углы равны;

Перейти на статью

Вопросы для повторения "Решение треугольников"

Объясните, как измеряются отрезки. Что называется отношением двух отрезков? Как связано отношение двух отрезков с длинами этих отрезков? В каком случае говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A1B1 и C1D1? Что называется косинусом острого угла прямоугольного треугольника? Докажите, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то косинусы этих углов равны.

Перейти на статью

Вопросы и задачи "Подобные треугольники"

143. а) Докажите, что треугольник, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника, подобен данному треугольнику. б) Стороны AB, BC и CA треугольника ABC пропорциональны сторонам DE, EF и FD треугольника DEF, ∠C = 50º и ∠D = 70º. Найдите остальные углы треугольников. в) На стороне BC треугольника ABC отмечена точка M так, что ∆ABM ~ ∆ABC. Найдите AB, если BM = 4 и CM = 5. г) Диагональ AC разделяет трапецию ABCD с основаниями AD = 12 и BC = 3 на два подобных треугольника. Найдите AC.

Перейти на статью

Вопросы и задачи "Теоремы синусов и косинусов"

137. а) Найдите синус и косинус углов в 120º, 135º и 150º. б) Постройте тупой угол A, если sin A = ¾. в) Докажите, что тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему. г) Найдите тангенс и котангенс углов в 30º, 45º, 60º, 120º, 135º и 150º. д) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, если AB = BC = a и ∠A = α. е) Дан треугольник ABC, в котором ∠A = 80º, ∠B = 70º и AB = 9. Найдите угол C и приближенные значения AC и BC. ж) Радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 4√3, ∠A = 50º и ∠C = 70º. Найдите AC.

Перейти на статью

Вопросы и задачи "Косинус и синус острого угла"

131. а) Найдите отношение отрезков AB = 9 см и CD = 12 см. Изменится ли это отношение, если длины отрезков выразить в километрах? б) Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A1B1 и C1D1. Найдите A1B1, если AB = 8 мм, CD = 5 см и C1D1 = 2 дм. в) Пропорциональны ли изображенные на рисунке 98: отрезки AB и CD отрезкам FH и GH; отрезки AB и CD отрезкам FH и GH; отрезки AB, BC и CD отрезкам FH, EF и EG?

Перейти на статью

Дополнительные задачи "Решение треугольников"

§ 16 149. Два острых угла равны α и β. Докажите, что если α > β, то sin α > sin β, и обратно: если sin α > sin β, то α > β. 150. Два острых угла равны α и β. Докажите, что если α > β, то cos α β. 151. В трапеции ABCD основание AD равно 5, AB = 3, BD = 4, отрезок CM — перпендикуляр к прямой BD. Найдите синус угла BCM. 152. На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC отмечена точка M так, что BM : MA = 1 : √3. Основание перпендикуляра, проведенного из точки M к прямой BC, равноудалено от точек M и C. Найдите углы A и B.

Перейти на статью

Теорема синусов

Теорема. Сторона треугольника равна произведению диаметра описанной окружности на синус противолежащего угла. Доказательство. Пусть радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен R. Докажем, например, что BC = 2R * sin A. Если отрезок BC — диаметр описанной окружности (рис. 100, а), т. е. BC = 2R, то ∠A = 90º, поэтому sin A = 1 и BC = 2R * sin A.

Перейти на статью

Синус острого угла

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение катета, противолежащего этому углу, к гипотенузе. Синус острого угла α обозначается символом sin α (читается «синус альфа»). На рисунке 91 катет BC является противолежащим углу A, поэтому sin A = BC/AB. Заметим, что cos B = BC/AB = sin A, а cos A = AC/AB = sin B. Поскольку ∠B = 90º – ∠A, то sin A = cos (90º – A), cos A = sin (90º – A).

Перейти на статью

Метод подобия

Метод подобия при решении задач на построение состоит в том, что сначала, используя только часть данных, строят фигуру, подобную искомой, а затем, привлекая остальные данные, строят искомую фигуру. Приведем пример решения задачи на построение методом подобия. Задача. Построить треугольник ABC с данным острым углом B, в котором AB : BC = 3 : 2 и высота CD равна данному отрезку PQ.

Перейти на статью

Свойство углов подобных треугольников

Среди окружающих нас предметов встречаются такие, которые имеют одинаковую форму, но разные размеры (две вложенные друг в друга матрешки, здание и его макет и т. д.). В геометрии такие фигуры называются подобными. Изучение подобных фигур мы начнем с определения подобных треугольников. Определение. Два треугольника называются подобными, если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника.

Перейти на статью

Признаки подобия треугольников

Теорема. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. Доказательство. Рассмотрим треугольники A1B1C1 и ABC, у которых A1B1 = kAB, B1C1 = kBC, ∠B1 = ∠B (рис. 108). Докажем, что C1A1 = kCA и, следовательно, ∆A1B1C1 ~ ∆ABC. Согласно теореме косинусов

Перейти на статью

Пропорциональные отрезки

В 7 классе мы обсуждали вопрос о том, как измеряются отрезки в сантиметрах. За единицу измерения отрезков можно принимать не только сантиметр, но и любой другой отрезок. Действительно, пусть AB — измеряемый отрезок, PQ — выбранная единица измерения отрезков. На луче AB будем откладывать отрезки AA1, A1A2, …, равные PQ (рис. 88) до того момента, когда либо точка An совпадет с точкой B, либо точка B окажется лежащей между точками An и An+1.

Перейти на статью

Построение трех правильных многоугольников

С помощью циркуля и линейки построим золотое сечение данного отрезка PQ (см. п. 71), т. е. построим на нем такую точку M, что a/b = (b – a)/a, где a = PM и b = PQ (рис. 115, а). Затем построим равнобедренный треугольник ABC со сторонами BC = a, AB = AC = b и на его стороне AB отложим отрезок AD = a (рис. 115, б).

Перейти на статью

Теорема Пифагора

Теорема, которую мы сейчас докажем, называется теоремой Пифагора и является одной из важнейших теорем геометрии. Теорема. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Доказательство. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C (рис. 94) и докажем, что AB2 = AC2 + BC2. Поскольку AC = AB · cos A и BC = AB · sin A, то

Перейти на статью

Построение пропорциональных отрезков

Признаки подобия треугольников широко используются при решении задач на построение. Приведем два примера. Задача. Разделить данный отрезок AB на отрезки AM и MB, пропорциональные данным отрезкам P1Q1 и P2Q2. Решение. Проведем какой-нибудь луч с началом A, не лежащий на прямой AB, и отложим на нем последовательно отрезки AC и CD, равные данным отрезкам P1Q1 и P2Q2 (рис. 112).

Перейти на статью