Вписанный угол

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом. Говорят, что вписанный угол опирается на дугу, заключенную внутри этого угла. На рисунке 146 вписанный угол ABC опирается на дугу AMC. Докажем теорему о вписанном угле. Теорема. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Перейти на статью

Определение окружности

Предположение, в котором разъясняется смысл какого-либо слова или словосочетания, называется определением. В нашем учебнике уже были определения, например определение угла, треугольника и т. д. Сформулируем еще одно определение. Определение. Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Перейти на статью

Угол между касательной и хордой

Рассмотрим окружность с центром O и прямую CC₁, касающуюся окружности в точке A (рис. 144). Проведем хорду AB. Каждый из углов BAC и BAC₁ будем называть углом между касательной и хордой.Докажем теорему об угле между касательной и хордой.

Перейти на статью

Хорды и дуги

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. На рисунке 140 отрезки AB, CD и EF – хорды окружности (CD является и диаметром окружности).

Перейти на статью

Построение угла, равного данному

Задача Отложить от данного луча угол, равный данному. Решение Пусть даны неразвернутый угол A (для развернутого угла решение очевидно) и луч OM (рис. 157, а). Требуется построить угол, равный углу A, одной из сторон которого будет луч OM.

Перейти на статью

Вопросы и задачи к параграфу "Перпендикулярные прямые"

13. а) Один из смежных углов на 60° меньше другого. Найдите эти углы. б) Две пересекающиеся прямые образуют четыре неразвернутых угла, один из которых в три раза больше половины другого. Найдите эти углы. в) Исходя из рисунка 59, докажите, что ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. г) Три прямые пересекаются в одной точке и делят плоскость на шесть углов, два из которых равны 30° и 50°. Найдите остальные четыре угла. 14. а) Один из смежных углов в три раза больше другого. Найдите эти углы.

Перейти на статью

Смежные и вертикальные углы

Два угла, у которых одна сторона – общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными. На рисунке 52 изображены смежные углы AOB и BOC. Поскольку угол AOC равен 180°, то ∠AOB + ∠BOC = ∠AOC = 180°. Таким образом, сумма смежных углов равна 180°.

Перейти на статью

Измерение отрезков

Измерение отрезков основано на сравнении их с отрезком, принятым за единицу измерения. В странах-участницах Метрической конвенции (в частности, в России) в качестве основной единицы измерения отрезков используется метр. Для измерения отрезков, изображенных на листе бумаги, удобнее использовать сантиметр – одну сотую часть метра или дециметр – одну десятую часть метра. Если за единицу измерения принят сантиметр, то для измерения отрезка нужно узнать, сколько раз в нем укладывается сантиметр.

Перейти на статью

Луч и полуплоскость

Рассмотрим прямую a и точку O, лежащую на этой прямой (рис. 10). Точка O разделяет прямую a на две части, каждая из которых называется лучом, исходящим из точки O (на рисунке 10 один из лучей синий, а другой зеленый), а точка O называется началом каждого из лучей.

Перейти на статью

Вопросы для повторения к главе "Начальные геометрические сведения"

Объясните, что такое отрезок и концы отрезка. Сколько прямых проходит через две данные точки? Сколько общих точек могут иметь две прямые? Что означают слова «две прямые пересекаются»? Как называется общая точка двух прямых? Объясните, что такое луч и что такое полуплоскость. Какая фигура называется углом? Что называется вершиной угла и что – сторонами угла? Какой угол называется развернутым? Что означают слова: «луч делит угол на два угла»? Какие углы называются равными?

Перейти на статью

Точка, прямая, отрезок

Простейшей из геометрических фигур является точка. Изображение точки можно получить, прикасаясь к листу бумаги остро отточенным карандашом. Обычно точки обозначают большими латинскими буквами: A, B, C и т. д. Представление о прямой дает натянутая нить. Прямую, как геометрическую фигуру мыслят себе простирающейся бесконечно в обе стороны. Как правило, прямые обозначаются малыми латинскими буквами: a, b, c и т. д.

Перейти на статью

Перпендикулярные прямые. Перпендикуляр к прямой

Две пересекающиеся прямые образуют четыре неразвернутых угла (углы 1, 2, 3 и 4 на рисунке 53). Если один из них прямой, то и остальные углы прямые. Доказательство этого утверждения приведено на рисунке 54. Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла. Для краткости вместо слов «прямая AC перпендикулярна к прямой BD» используют запись AC ⊥ BD.

Перейти на статью

Сравнение отрезков и углов

Пусть даны два отрезка – AB и CD. Наложим отрезок CD на луч AB так, чтобы точка C совместилась с точкой A. Если при этом точка D совместится с точкой B, то отрезки AB и CD совместятся, и, следовательно, они равны (рис.

Перейти на статью

Равенство геометрических фигур

В повседневной жизни часто встречаются предметы, имеющие одинаковую форму и одинаковые размеры (две страницы одной книги, две одинаковые вилки, два одинаковых стула и т. д.). В геометрии две фигуры, имеющие одинаковую форму и одинаковые размеры, называют равными.

Перейти на статью