Третий признак равенства треугольников

Теорема. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, у которых AB = A1B1, BC = B1C1, CA = C1A1 (рис. 84), и докажем, что эти треугольники равны.

Перейти на статью

Равные треугольники

Напомним, что две фигуры, в частности два треугольника, называются равными, если их можно совместить наложением. Рассмотрим равные треугольники ABC и A1B1C1 (рис. 81). Каждый из них можно наложить на другой так, что они полностью совместятся, т. е. вершины, стороны и углы одного треугольника совместятся с вершинами, сторонами и углами другого.Таким образом, если два треугольника равны, то элементы (т. е.

Перейти на статью

Свойство биссектрисы угла

Докажем сначала теорему о биссектрисе угла, а затем обратную ей теорему. Теорема. Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон. (То есть равноудалена от прямых, содержащих стороны угла.) Доказательство. Обозначим буквой M произвольную точку биссектрисы неразвернутого угла A, проведем перпендикуляры MH и MK (рис. 109).

Перейти на статью

Задачи повышенной трудности к "Окружность"

176. К двум окружностям с центрами O и O₁ проведены две общие касательные, не пересекающие отрезка OO₁, и одна общая касательная, пересекающая их в точках A, B и касающаяся окружностей в точках A₁, B₁. Докажите, что AA₁ = BB₁. 177. Внутри угла ABC равностороннего треугольника ABC взята точка M так, что ∠AMB = 30° и ∠MBC = 23°. Найдите углы BAM и BCM. 178. Гипотенузы BC и B₁C₁ прямоугольных треугольников ABC и A₁B₁C₁ равны, AB A₁C₁.

Перейти на статью

Задачи повышенной трудности "Треугольники"

141. На сторонах угла POQ отмечены точки A, B, С и D так, что AO = OB и AC = BD (рис. 170). Прямые AD и BC пересекаются в точке E. Докажите, что луч OE – биссектриса угла POQ. Опишите основанный на этом факте способ построения биссектрисы угла. 142. Отрезки AB и CD пересекаются в середине M отрезка AB, причем AC = BD = AM. Докажите с помощью наложения, что точка M является серединой отрезка CD.

Перейти на статью

Задачи с практическим содержанием"Окружность"

1. Градусная мера дуги обода велосипедного колеса, расположенной между двумя соседними спицами, равна 20°. Сколько спиц в колесе? 2. Сколько оборотов должна сделать секундная стрелка часов, чтобы часовая стрелка повернулась на 1°? 3. На листе бумаги нарисована дуга окружности. Как (с помощью циркуля и линейки) построить все окружность?

Перейти на статью

Задачи с практическим содержанием "Треугольники"

1. Как, пользуясь только веревкой и острыми колышками, начертить на земле прямой угол? 2. От оконного стекла прямоугольной формы откололись два куска (рис. 174). Можно ли по сохранившейся части вырезать такое же прямоугольное стекло? Какие следует снять размеры? 3. Предложите способ измерения расстояния между двумя точками, если нельзя пройти по прямой от одной точки до другой. (В случае затруднения обратитесь к рис. 175.)

Перейти на статью

Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету

Опираясь на результаты пп. 34-39, нетрудно построить прямоугольный треугольник по следующим элементам: по двум катетам; по гипотенузе и острому углу; по катету и любому из острых углов. (Объясните, как выполнить эти построения.) Решим еще одну из важнейших задач на построение. Задача Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету. Решение

Перейти на статью

Построение треугольника по трем сторонам

Задача Построить треугольник по трем сторонам. Эту задачу нужно понимать так: даны три отрезка P1Q1, P2Q2 и P3Q3 (рис. 154). Требуется построить треугольник ABC, стороны которого соответственно равны этим трем отрезкам AB = P1Q1, BC = P2Q2 и CA = P3Q3.Решение

Перейти на статью

Вопросы и задания к параграфу "Задачи на построение"

107. а) Даны равносторонний треугольник ABC и точка B₁ на стороне AC. На сторонах BC и AB постройте точки A₁ и C₁ так, чтобы треугольник A₁B₁C₁ был равносторонним. б) Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки. в) Даны острые углы ABC и DEF. Отложите от луча BA во внешнюю область угла ABC угол, равный углу DEF. г) Дан треугольник ABC. Постройте треугольник DEF, в котором ∠D = ∠A, DE = 2AB и DF = 3AC. д) Дан треугольник ABC. Постройте треугольник DEF, в котором ∠D = ∠A, ∠E = ∠B и DE = 2AB.

Перейти на статью

Дополнительные задачи к главе "Окружность"

109. Докажите, что окружности радиуса AB с центрами A и B пересекаются в двух точках. 110. Расстояние от точки до центра данной окружности равно диаметру этой окружности. Найдите угол между отрезками касательных, проведенными из указанной точки к данной окружности. 111. На рисунке 165 прямые AB и AC – касательные к окружности, B и C – точки касания. Докажите, что ∠BAC = 180° – ◡BDC.

Перейти на статью

Вопросы и задачи к параграфу "Отрезки и углы, связанные с окружностью"

99. а) Точки A, B, C и D лежат на окружности с центром O, причем ∠AOB = ∠COD. Докажите, что AB = CD. б) Точки A, B, C и D лежат на окружности с центром O, причем AB = CD. Докажите, что точка O равноудалена от прямых AB и CD. в) Отрезок AD – высота треугольника ABC. На прямой BC отмечена точка L так, что точка D является серединой отрезка CL; на прямой AB отмечены точки M и N так, что AM = AC и точка A является серединой отрезка MN. Докажите, что точки C, L, M и N лежат на одной окружности.

Перейти на статью

Касательная

Докажем теорему о свойстве касательной: Теорема. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. Доказательство. Пусть a – касательная к окружности с центром O, A – точка касания (рис. 137). Докажем, что a ⊥ OA.

Перейти на статью

Построение циркулем и линейкой

Для изображения геометрических фигур пользуются различными чертежными инструментами: линейкой (в том числе линейкой с делениям), циркулем, угольником, транспортиром. Оказывается, что многие фигуры можно построить с помощью только циркуля и линейки без делений.

Перейти на статью

Вопросы для повторения к главе "Окружность"

Что такое определение? Дайте определение окружности? Объясните, что такое центр, радиус и диаметр окружности. Что такое круг? Докажите, что никакие три точки окружности не лежат на одной прямой. Сколько общих точек имеют прямая и окружность в зависимости от соотношения между радиусом окружности и расстоянием от ее центра до прямой? Какая прямая называется секущей по отношению к окружности? Какая прямая называется касательной к окружности? Какая точка называется точкой касания прямой и окружности?

Перейти на статью

Построение прямой, перпендикулярной к данной

Задача Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой. Решение Данная точка M может лежать на данной прямой a, а может и не лежать на ней. И в том и в другом случае решение задачи сводится к построению серединного перпендикуляра к отрезку.

Перейти на статью