Треугольник

Выберем какие-нибудь три точки, не лежащие на одной прямой. Соединив их тремя отрезками, получим геометрическую фигуру, называемую треугольником (рис. 65, а). Выбранные точки называются вершинами треугольника, а соединяющие их отрезки – его сторонами.

Перейти на статью

Историческая справка по геометрии

Геометрия зародилась 4000 лет назад в Древнем Египте и Вавилонии в связи с потребностями измерения земельных участков, построения храмов и дворцов. Когда Нил размывал участок обрабатываемой земли, для взимания налогов было важно знать, сколько именно земли потеряно. Египетские землемеры использовали для своих измерений и построений туго натянутые веревки.

Перейти на статью

Сумма углов треугольника

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180°. Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC и докажем, что ∠A + ∠B + ∠C = 180°. В любом треугольнике хотя бы два угла острые. Пусть, например, в треугольнике ABC острыми являются углы B и C. Проведем высоту AA₁ (рис. 121).

Перейти на статью

Неравенство треугольника

Теорема. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Доказательство. Рассмотрим треугольник ABC и докажем, что AB (1) Пусть, например, AB ⩽ BC и CA ⩽ BC. Тогда первые два из неравенств (1), очевидно, выполняются.

Перейти на статью

Вопросы и задачи к параграфу "Соотношения между сторонами и углами треугольника"

49. а) На стороне AB треугольника ABC, в котором AC = 14 см, BC = 6 см, отмечена точка M. Может ли отрезок AM быть равным 20 см? б) В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 25 см, а другая равна 10 см. Какая из них является основанием? в) Точки A и B лежат по разные стороны от прямой CD, причем ACD = BDC и AC = BD. Докажите, что BC

Перейти на статью

Вопросы и задачи к параграфу "Прямоугольные треугольники"

41. а) Докажите, что если четырехугольник ABCD – прямоугольник, то ∠CAD = ∠BDA. б) Диагонали прямоуголь­ника ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что OA = OB = OC = OD. в) Отрезок AH – высота треугольника ABC, в котором ∠C = 63° и ∠BAH = 27°. Докажите, что AB = AC. г) На рисунке 116 изображен квадрат ABCD, в котором AP = BQ = CR = DS. Докажите, что четырехугольник PQRS – квадрат. д) Докажите, что высота прямо­угольного треугольника, проведенная к гипотенузе, разделяет его на два треугольника, углы каждого из которых соответственно равны углам данного треугольника.

Перейти на статью

Вопросы и задачи к параграфу "Равнобедренный треугольник"

27. а) Периметр треугольника ABC, изображенного на рисунке 76, отличается от периметра треугольника BCD на 5 см. Найдите периметр ABD, если AB = BD = DA = DC. б) Точка M – середина стороны AC треугольника ABC, в котором AB = 6 см. Периметры треугольника ABM и BCM отличаются на 10 см. Найдите сторону BC.

Перейти на статью

Допол­нительные задачи к главе "Треугольники"

§5 Равнобедренный треугольник 55. Точка C лежит на прямой AB, а точка D не лежит на этой прямой. Докажите, что по крайней мере два из трех отрезков AD, BD и CD не равны друг другу. 56. Биссектрисы углов при основании AC равнобедренного треугольника ABC пересекаются в точке O. Докажите, что ∠ABO = ∠CBO. 57. Докажите, что если в треугольнике ABC стороны AB и AC не равны, то медиана AM треугольника не является высотой. 58. Докажите, что каждый угол имеет биссектрису. 59. Докажите, что каждый отрезок имеет середину. §6 Признаки равенства треугольников

Перейти на статью

Вопросы и задачи к параграфу "Признаки равенства треугольников"

35. а) Углы AOQ и BOQ на рисунке 87 равны. Докажите, что если OA = OB, то ΔAOC = ΔBOC. б) Докажите, что если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный. в) Углы AOC и BOC на рисунке 87 равны. Докажите, что если AO = OB, то ∠ABC = ∠BCA и AQ = BQ. г) Углы AQC и BPC на рисунке 88 равны. Докажите, что если AP = BQ, то ∠ABC = ∠BAC. д) На рисунке 87 OA = OB и AQ = BQ. Докажите, что ∠CAO = ∠CBO. е) На рисунке 87 AC = BC и AR = BP. Докажите, что AP = BR.

Перейти на статью

Признаки равенства прямоугольных треугольников

В прямоугольном треугольнике угол между катетами прямой, а любые два прямых угла равны. Поэтому согласно теоремам о первом и втором признаках равенства треугольников справедливы следующие утверждения: если катеты одного прямоуголь­ника соответственно равны катетам другого прямоуголь­ного треугольника, то такие треугольники равны (рис. 101);

Перейти на статью

Прямоугольник

Рассмотрим фигуру, составленную из отрезков AB, BC, CD и DA, никакие два из которых не лежат на одной прямой и не имеют общих точек, отличных от концов. Такая фигура называется четырехугольником ABCD (рис. 90), указанные отрезки называются сторонами, а концы сторон (точки A, B, C, D) – вершинами четырехугольни­ка.

Перейти на статью

Вопросы для повторения к главе "Треугольники"

Объясните, какая фигура называется треугольником. Что какое стороны, вершины, углы и периметр треугольника? Какой треугольник называется равнобедренным? Равносторонним? Как называются стороны равнобедренного треугольника? Сформулируйте и докажите теорему об углах равнобедренного треугольника? Докажите теорему (признак равнобедренного треугольника): если два угла треугольника равны, то этот треугольник равнобедренный. Какой отрезок называется медианой треугольника? Сколько медиан имеет треугольник?

Перейти на статью

Серединный перпендикуляр к отрезку

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему. На рисунке 106 прямая a – серединный перпендикуляр к отрезку AB. Докажем теорему о серединном перпендикуляре к отрезку. Теорема. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Перейти на статью

Теорема об углах равнобедренного треугольника

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона – основанием равнобедренного треугольника (рис. 66, а). Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним (рис. 66, б).Докажем теорему об углах равнобедренного треугольника.

Перейти на статью

Проекция отрезка

Проекцией точки M на прямую a называется основание перпендикуляра, проведенного из точки M к прямой a, если точка M не лежит на прямой a, и сама точка M, если она лежит на прямой a. Проекцией отрезка на прямую a называется множество проекций всех точек этого отрезка на прямую a.

Перейти на статью

Теорема о высоте равнобедренного треугольника

На рисунке 69 биссектриса угла A треугольника ABC пересекает сторону BC в точке N. Отрезок AN называется биссектрисой треугольника. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника (рис. 70).

Перейти на статью