Прямо пропорциональная зависимость

В арифметике уже изучались прямо пропорциональные величины. Приведем примеры таких величин. 1) Путь (при равномерном движении) и время, в течение которого этот путь пройден. Пусть скорость равномерного движения равна 3 км в час. Обозначим длину пройденного пути через y, а число часов, за которое этот путь пройден, через x; тогда зависимость между этими двумя величинами выразится равенством: y = 3x.

Перейти на статью

График прямо пропорциональной зависимости

Рассмотрим прямо пропорциональную зависимость с некоторым определенным коэффициентом пропорциональности. Например, y = 3x. При помощи системы координат на плоскости можно наглядно изобразить данную зависимость. Объясним, как это делается. Дадим x какое-нибудь числовое значение; положим, например, x = 2 и вычислим соответствующее значение y; в нашем примере y = 3 * 2 = 6.

Перейти на статью

Умножение дробей

Правило умножения алгебраических дробей такое же, как и для арифметических дробей. Правило. Чтобы перемножить дроби, надо перемножить отдельно их числители и их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе — знаменателем произведения: Так как целое выражение можно рассматривать как дробь со знаменателем, равным единице, то приведенное правило применяется и в том случае, когда некоторые из сомножителей — целые выражения.

Перейти на статью

Вычитание дробей

Вычитание определяется как действие, обратное сложению: вычесть одно выражение из другого — значит найти такое третье выражение, которое, будучи сложено с вычитаемым, даст уменьшаемое. Отсюда следует правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями: Чтобы вычесть дробь из другой дроби с тем же знаменателем, надо из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого и разность разделить на их общий знаменатель: Чтобы доказать справедливость этого равенства, сложим вычитаемое с разностью:

Перейти на статью

Перемена знака у членов дроби

Из основного свойства дроби вытекает, что величина дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить на –1, например: Но умножение любого числа на –1 только меняет его знак на противоположный. Итак: Значение дроби не изменяется, если изменить знаки числителя и знаменателя на противоположные: К такому преобразованию дробей приходится иногда прибегать, например, при их сложении. Пример.

Перейти на статью

Основное свойство дроби и сокращение дробей

Дробь, у которой числитель и знаменатель являются любыми рациональными числами (при условии, что знаменатель не равен нулю), обладают следующим основным свойством: Значение дроби не изменится, если числитель и знаменатель умножить на одно и то же не равное нулю число: ,

Перейти на статью

Возведение дроби в натуральную степень

Чтобы возвести данную дробь, например , в квадрат, надо эту дробь умножить саму на себя. Применив правило умножения дробей, получим: Мы видим, что у получившейся дроби числитель равен квадрату числителя, а знаменатель равен квадрату знаменателя данной дроби. Возведем данную дробь в куб: Мы видим, что у получившейся дроби числитель и знаменатель равны кубу числителя и знаменателя данной дроби.

Перейти на статью

Целая отрицательная и нулевая степени числа

В практике часто для краткого обозначения больших чисел пользуются степенями числа 10. Так, например, среднее расстояние от Земли до Солнца в миллионах километров (приближенно) равно 150 млн. км. Это число можно записать так: 150 000 000 км или кратко: 150 * 106км. Средний радиус земного шара в миллионах метров выражается числом 6,37 (млн. м); кратко это число запишется так: 6,37 * 106м.

Перейти на статью

Дробные уравнения

До сих пор мы решали только уравнения целые относительно неизвестного, то есть уравнения, в которых знаменатели (если таковые имелись) не содержали неизвестное. Часто приходится решать уравнения, содержащие неизвестное в знаменателях; такие уравнения называются дробными. Примеры. 1. (1)

Перейти на статью

Деление дробей

Рассматривая деление как действие обратное умножению, получим следующее правило для деления дробей: Чтобы разделить дробь на дробь, надо делимое умножить на дробь, обратную делителю: Докажем справедливость этого равенства. Умножим полученное частное на делитель: Получили делимое. Значит, деление произведено верно.

Перейти на статью

Приведение дробей к общему знаменателю

Основное свойство дроби дает возможность алгебраические дроби с различными знаменателями преобразовать в тождественные им дроби с одинаковыми знаменателями (говорят: привести дроби к общему знаменателю). Такое преобразование приходится производить, как и в арифметике, при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями. Из рассмотрения нескольких примеров выведем общее правило приведения дробей к общему знаменателю. 1. Дроби с одночленными знаменателями. Приведем к общему знаменателю дроби:

Перейти на статью

Сложение дробей

Задача 1. В первом классе роздали a тетрадей, во втором b тетрадей. Каждый ученик получил по m тетрадей. Сколько было учеников в обоих классах? Решим задачу двумя способами. 1-й способ. 1) Сколько было учеников в первом классе? учеников.

Перейти на статью

Переменный величины

Если надувать детский воздушный шар, то будут увеличиваться его поверхность и объем, будет уменьшаться толщина его оболочки; вес же этой оболочки остается неизменным. Если наблюдать движение поезда от одной станции к другой, то также легко заметить, что некоторые величины, участвующие в движении поезда, изменяются, например: расстояние поезда от станции, запасы топлива и воды. Другие величины остаются неизменными, например: число вагонов, колес и пр.

Перейти на статью

Уравнение первой степени с двумя неизвестными

В главе IV мы изучали уравнения, содержащие одно неизвестное; однако уравнение может содержать не одно, а несколько неизвестных, обозначенных буквами. Сформулируем определение уравнения в общем виде. Определение. Уравнением называется равенство, в котором одно или несколько чисел, обозначенных буквами, являются неизвестными. Пусть, например, сказано, что сумма квадратов двух неизвестных чисел x и y равна 7; это можно записать при помощи следующего уравнения с двумя неизвестными:

Перейти на статью

Равномерные и неравномерные шкалы

Счетная линейка получила широкое применение в инженерных расчетах, а с повышением технического уровня нашей страны она становится необходимым инструментом не только инженера, но и квалифицированного рабочего. Устройство счетной линейки основано на теории логарифмов, но для практического пользования линейкой можно обойтись без знания логарифмов. Для того чтобы в совершенстве овладеть вычислениями на линейке, необходимо непрерывно упражняться и пользоваться ею при всевозможных расчетах на уроках математики, физики, химии, машиноведения, а также в мастерских и вне школы.

Перейти на статью

Положительные и отрицательные числа

Если на вопрос «Какова температура воздуха сейчас?» ответить: «Термометр показывает 40», то это не будет точным ответом: термометр может показывать 40 тепла или 40 холода (черт. 1). Говорят также: 40 выше нуля и 40 ниже нуля. Эти пояснительные слова: «тепло», «холод», «выше нуля», «ниже нуля» — приходится добавлять потому, что температура от нуля изменяется в двух противоположных направлениях.

Перейти на статью

Квадратные уравнения

Уравнение, в котором левая часть — многочлен второй степени относительно неизвестного, а правая — нуль, называется уравнением второй степени или, короче, квадратным. В нормальном виде квадратное уравнение записывается так: ax2 + bx + c = 0, (1)

Перейти на статью

Одночлен и многочлен

1. Рациональные алгебраические выражения. В предыдущих главах рассматривались пять действий над рациональными числами: сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень. В настоящей главе будем рассматривать алгебраические выражения, составленные с помощью этих пяти действий. Все такие выражения называются рациональными.

Перейти на статью

Допустимые значения букв

Из примеров, приведенных в § 1, заключаем, что буквы, входящие в какое-либо алгебраическое выражение, могут принимать иногда любые значения (первый пример), иногда лишь некоторые, но не любые значения (второй пример). Определение. Значения, которые могут принимать буквы в данном алгебраическом выражении, называются допустимыми значениями для этих букв. Если выражение получилось в результате решения задачи, то совокупность, или, как принято говорить, множество, допустимых значений для букв определяется по смыслу самой задачи.

Перейти на статью