Деление

Деление определяется как действие, обратное умножению. Разделить одно число на другое — значит найти такое третье число, которое, будучи умножено на делитель, даст в произведении делимое: a : b = c, если bc = a.

Перейти на статью

Сравнение рациональных чисел

Мы умеем сравнивать между собой любые положительные числа, то есть всегда сможем указать, какое из двух данных положительных чисел больше и какое меньше. Теперь, когда введены новые, отрицательные числа, нужно установить правило сравнения этих чисел как между собой, так и с положительными числами. Для этого обратимся к числовой оси. Посмотрим, как расположены на ней положительные числа, сравнивать которые мы уже умеем.

Перейти на статью

Противоположные числа

Числа 6 и –6 изображаются на числовой оси точками, находящимися на одинаковом расстоянии от начальной точки O, но по разные от нее стороны (черт. 4). Такие числа называются противоположными.Определение. Два числа называются противоположными, если соответствующие им точки числовой прямой расположены по разные стороны от начальной точки и на одинаковом расстоянии от нее.

Перейти на статью

Сложение нескольких чисел

Сложение нескольких рациональных чисел выполняется по тому же правилу, по которому производится сложение нескольких чисел в арифметике. Чтобы сложить несколько рациональных чисел, надо сложить первые два слагаемых, затем к полученной сумме прибавить третье слагаемое, к полученной сумме прибавить четвертое и так далее до конца. Например: (-7) + (+5) + (+2) + (-3) + (+9) = = (-2) + (+2) + (-3) + (+9) = = 0 + (-3) + (+9) = = (-3) + (+9) = +6.

Перейти на статью

Законы сложения

Убедимся в том, что при сложении рациональных чисел остаются в силе основные законы сложения, установленные для положительных чисел. Переместительный закон. Для любых рациональных чисел a и b справедливо равенство: a + b = b + a.

Перейти на статью

Сложение рациональных чисел

Нам нужно теперь установить правила действий с рациональными числами, то есть правила сложения, вычитания, умножения и деления любых рациональных чисел. Начнем со сложения. Постараемся установить такое правило сложения рациональных чисел, чтобы выполнить три следующих требования: Чтобы задачи, которые в арифметике (то есть для положительных чисел) решались сложением, решались бы тем же действием в случае любых рациональных чисел. Чтобы правило сложения любых рациональных чисел осталось для положительных чисел тем же, каким мы его знаем из арифметики.

Перейти на статью

Абсолютная величина числа

Из некоторого пункта O выехали в противоположных направлениях два автомобиля. Первый прошел 40 км вправо от пункта O, второй прошел 50 км влево от того же пункта. Желая показать не только пройденный путь, но и направление его, мы можем записать, что первый автомобиль прошел +40 км, или просто 40 км, а второй прошел –50 км. Теперь ответим на следующий вопрос: какой из автомобилей прошел большее расстояние?

Перейти на статью

Теорема Виета

Решим приведенное уравнение: x2 – 7x + 12 = 0. По формуле (B) получим: . Отсюда x1 = 3; x2 = 4. Обратим внимание на следующее: если сложить найденные корни, то получим число, противоположное коэффициенту при x. Действительно: в уравнении p = – 7, а x1 + x2 = 4 + 3 = 7. Возьмем еще уравнение: x2 + 2x – 35 = 0.

Перейти на статью

Исследование корней квадратного уравнения

Пусть дано или составлено при решении задачи квадратное уравнение. Часто бывает полезно для решения этого уравнения получить некоторые сведения о его корнях, или, как говорят, исследовать корни уравнения. 1. Исследование корней квадратного уравнения по дискриминанту. Прежде всего нужно установить, стоит ли решать данное уравнение, то есть имеет ли оно корни. Из § 106 известно, что ответ на этот вопрос зависит от дискриминанта D = b2 – 4ac, а именно: Если D > 0, то уравнение имеет два различных корня.

Перейти на статью

Приведенное квадратное уравнение

Задача. Одна сторона прямоугольника на 6 см меньше другой. Площадь его равна 40 см2. Вычислить стороны прямоугольника. Решение. Пусть большая сторона равна x см. Тогда вторая сторона равна (x – 6) см, а площадь прямоугольника равна x(x – 6) см2. По условию x(x – 6) = 40.

Перейти на статью

Разложения квадратного трехчлена на множители

1. Квадратный трехчлен и его корни. Многочлен второй степени относительно какой-либо буквы называется иначе квадратным трехчленом или трехчленом второй степени относительно этой буквы. Общий вид квадратного трехчлена: ax2 + bx + c, (1)

Перейти на статью

Решение задач, приводящих к квадратным уравнениям

Квадратные уравнения применяются при решении многих задач. Значительная часть задач, легко решаемых при помощи уравнений первой степени, может быть решена и чисто арифметически, хотя иногда гораздо более трудным, длинным и часто искусственным путем. Задачи же, приводящие к квадратным уравнениям, как правило, совсем не поддаются арифметическому решению. А к таким задачам приводят многочисленные и самые разнообразные вопросы физики, механики, гидромеханики, аэродинамики и многих других прикладных наук.

Перейти на статью

Системы двух уравнений, из которых одно второй и одно первой степени

Задача. Прямоугольный участок площадью 1000 м2 огорожен забором длиной 130 м. Вычислить длину и ширину участка. Решение. Пусть длина участка равна x метрам, ширина y метрам. Тогда площадь его будет равна xy м2. По условию эта площадь равна 1000 м2. Получаем уравнение: xy = 1000. (1)

Перейти на статью

Краткие исторические сведения. Квадратные уравнения

Квадратные уравнения и способы их решения были известны в глубокой древности. Так, еще за две тысячи лет до нашей эры задачи измерения земельных участков приводили древних вавилонян к решению квадратных уравнений. В древней Греции (Пифагор, Евклид) квадратные уравнения решались геометрическим способом. Знаменитый узбекский математик аль-Хорезми решал квадратные уравнения как алгебраическим, так и геометрическим способами.

Перейти на статью

Квадратное уравнение общего вида

Решим уравнение: 4×2 – 5x – 21 = 0. Разделив все его члены на 4, получим: . Но это уравнение — приведенное, и решать его мы уже умеем. Применим формулу (A) предыдущего параграфа: Таким же путем решим теперь квадратное уравнение в общем виде: ax2 + bx + c = 0. (1)

Перейти на статью

Уравнение вида ax² + c = 0

Задача. Длина прямоугольного участка земли в 5 раз больше его ширины, а площадь равна 720 м2. Вычислить длину и ширину участка. Решение. Обозначим ширину участка через x метров. Тогда длина его будет равна 5x метрам. Площадь равна 5x * x = 5×2 (м2). По условию 5×2 = 720.

Перейти на статью

Уравнение вида ax² + bx = 0

Задача. Длина прямоугольного участка в 5 раз больше его ширины. Когда ширину участка увеличили на 9 м, площадь его увеличилась в 4 раза. Найти первоначальные размеры участка. Решение. Обозначим через x метров первоначальную ширину участка. Тогда можно составить такую таблицу: ДлинаШиринаПлощадьПервоначальный участокx 5x5x2

Перейти на статью

Приведение подобных членов

Задача 1. Тетрадь стоит a копеек. Коля купил 3 тетради, Вера 7, а Вася 5 тетрадей. 1) Сколько заплатил каждый? 2) Сколько стоили все купленный тетради? Ответом на первый вопрос будут выражения: 3a; 7a; 5a (копеек). (1)

Перейти на статью