Решение задач

Решение очень многих задач может быть приведен к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными. В частности, все задачи, в которых требуется узнать два неизвестных числа и которые мы до сих пор решали с помощью уравнения с одним неизвестным, можно решить и с помощью системы уравнений. Приведем пример. Задача 1. Для детского сада купили на 24,4 руб. 16 больших и малых мячей. Большой мяч стоит 2,5 руб., малый 1,2 руб. Сколько было куплено тех и других мячей в отдельности?

Перейти на статью

Равносильные системы

Понятие равносильности для систем уравнений определяется так же, как и для уравнений (см. § 47). Определение. Две системы уравнений называются равносильными (эквивалентными), если все решения каждой из них являются решениями и другой. Системы, не имеющие решений, также считаются равносильными.

Перейти на статью

Устройство счетной (логарифмической) линейки

Линейка в собранном виде показана на чертеже 39. Она состоит из трех частей: 1) Корпус (черт. 39а), на котором имеется несколько шкал. Мы в дальнейшем рассмотрим шкалу D (основная шкала), шкалу A (шкала квадратов) и шкалу K (шкала кубов). 2) Движок (черт. 39б), который свободно передвигается в корпусе вправо и влево. В первоначальном положении все деления шкалы C движка совпадают с делениями основной шкалы корпуса.

Перейти на статью

Умножение и деление с помощью счетной линейки

Умножение. По тому же принципу, как при помощи двух равномерных шкал можно было производить сложение чисел, теперь, пользуясь основной шкалой D на корпусе линейки и шкалой C на движке, будем производить умножение чисел.

Перейти на статью

Основная шкала

Рассмотрим на корпусе линейки шкалу D и научимся читать на ней различные числа. Только после того как мы научимся свободно читать и устанавливать всевозможные числа на шкале, можно приступить к действиям на линейке. На шкале нанесено десять основных штрихов, помеченных крупными цифрами 1, 2, 3 и т. д. (черт. 40). Промежутки между штрихами неравные (шкала неравномерная). Самый большой промежуток между цифрами 1 и 2. Последующие промежутки постепенно уменьшаются.

Перейти на статью

Алгебраическая сумма

Рассмотрим выражение: (+7) – (+4) + (+2) – (–5) – (+3) + (–1), (1) обозначающее несколько сложений и вычитаний. На основании правила вычитания мы можем все вычитания заменить сложением с числами, противоположными вычитаемым. Получим: (+7) + (–4) + (+2) + (+5) + (–3) + (–1). (2)

Перейти на статью

Порядок выполнения действий

Возведение в степень считается арифметическим действием третьей ступени. Если алгебраическое выражение содержит различные арифметические действия, то сперва производится возведение в степень, как действие высшей (третьей) ступени, затем умножение и деление (действия второй ступени) и, наконец, сложение и вычитание (действия первой ступени). Поясним сказанное примерами. Пример 1. 4 * 52 : 2 = 4 * 25 : 2 = 50.

Перейти на статью

Числовая ось

Отметим на прямой произвольную точку О (черт. 2). Назовем ее начальной точкой. Выберем какую-либо единицу длины, например 1 см. Отложим на прямой вправо от точки О один за другим отрезки, равные 1 см. Конец первого отрезка обозначим числом 1, конец второго — числом 2 и т. д.

Перейти на статью

Из истории отрицательных чисел

Еще несколько тысяч лет назад потребности в измерении привели к расширению множетства натуральных чисел, которыми до тех пор пользовались люди. Были введены новые, дробные числа, с помощью которых стало возможно производить измерения (длин, площадей, веса и пр.) с любой степенью точности, допускаемой инструментами. Не так обстояло дело с отрицательными числами. В практической деятельности людей не ощущалась потребность во введении отрицательных чисел, и они прочно вошли в математику и получили применение лишь в XVII веке.

Перейти на статью

Умножение нескольких чисел

Умножение нескольких рациональных чисел выполняется по тому правилу, по которому производится умножение нескольких чисел в арифметике. Чтобы перемножить несколько рациональных чисел, надо найти произведение первых двух чисел, затем этот результат умножить на третий данный сомножитель, полученный результат умножить на четвертый и так далее до конца. Например: (–3) * 4 * (–2) * (–5) * 6 = = (–12) * (–2) * (–5) * 6 = = 24 * (–5) * 6 = = (–120) * 6 = –720

Перейти на статью

Законы умножения

Для рациональных чисел остаются справедливыми те же законы умножения, которые были приведены в § 5 для положительных чисел. 1. Переместительный закон. Для любых рациональных чисел a и b справедливо равенство: ab = ba.

Перейти на статью

Графики

1. График равномерного движения. Решим задачу. Пионеры в походе шли со скоростью 3 км в час. Какое расстояние они прошли за t часов? Если искомое расстояние обозначим через s, то получим: s = 3t.

Перейти на статью

Возведение в степень

В арифметике сложение равных чисел рассматривается как новое действие — умножение. При этом число-слагаемое пишется только один раз, а за ним (после знака умножения) пишется число множитель, которое показывает, сколько раз надо взять слагаемым первое число. Например: 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3 * 5; .

Перейти на статью

Решение задач с помощью уравнений

В дальнейшем, по мере изучения алгебры, будет видно, какую огромную роль играют уравнения в решении задач. С помощью уравнений легко решаются многие задачи, которые с большим трудом или даже совсем не могут быть решены арифметически, причем арифметическое решение обычно бывает очень сложным и громоздким. Примеры таких задач будут даны в дальнейших разделах алгебры. Здесь же дадим примеры решения с помощью уравнений некоторых простых задач.

Перейти на статью

Уравнения

Задача. К некоторому числу прибавили 8 и получили 17. Найти это число. Решим задачу так: обозначим неизвестное число какой-либо буквой, например a. Прибавим к нему 8, получим a + 8. Но по условию задачи эта сумма должна быть равна 17. Значит, a + 8 = 17.

Перейти на статью

Свойства деления

Отметим свойства деления, известные из арифметики: эти свойства остаются в силе для любых рациональных чисел. 1. Деление суммы. Чтобы разделить сумму нескольких чисел на число, можно разделить на это число каждое слагаемое и результаты сложить. Пример. [12 + (–28) + 32] : 4 = 16 : 4 = 4 и 12 : 4 + (–28) : 4 + 32 : 4 = 3 + (–7) + 8 = 4.

Перейти на статью