Дополнительные задачи "Векторы и координаты"

§ 19 31. Четырехугольники ABCD и A1BC1D — параллелограммы. Докажите, что . 32. Треугольники ABC и AB1C1 имеют общую медиану AM. Докажите, что . 33. Напишите уравнение окружности с центом на оси ординат, проходящей через точки A (3; 8) и B (–4; 1). 34. Является ли отрезок с концами A (–3; 4) и B (–7; –4) диаметром окружности (x + 5)2 + y2 = 20?

Перейти на статью

Вопросы для повторения "Векторы и координаты"

1. Объясните, что такое ось координат, начало координат, положительная полуось, отрицательная полуось. 2. Что называется координатой точки, лежащей на оси координат? 3. Докажите, что координата середины отрезка, лежащего на оси координат, равна полусумме координат концов этого отрезка. 4. Объясните, как вводится прямоугольная (декартова) система координат. Как называются оси координат? 5. Объясните, как определяются координаты точки в заданной прямоугольной системе координат. Как называются координаты точки?

Перейти на статью

Вопросы и задачи "Геометрические преобразования"

23. а) Постройте фигуру, на которую отображается данный треугольник при симметрии относительно прямой, содержащей биссектрису одного из его внешних углов. б) Докажите, что при осевой симметрии прямая, параллельная оси, отображается на прямую, параллельную оси. в) Точки A и B лежат по одну сторону от прямой a. На прямой a постройте точку M, для которой сумма MA + MB принимает наименьшее значение. 24. а) Постройте фигуру, на которую отображается данный четырехугольник при симметрии относительно данной оси.

Перейти на статью

Вопросы и задачи "Координаты точки и координаты вектора"

1. а) Найдите координаты вершин равнобедренного треугольника ABC, изображенного на рисунке 55, если AO = a и CO = h. б) Точка A лежит на положительной полуоси Ox, а точка B — на отрицательной полуоси Oy. Найдите координаты точки M пересечения диагоналей прямоугольника OACB, если OA = 4 и OB = 5. в) Точка M — середина отрезка AB. Найдите координаты точки A, если B (4; 7) и M (–3; –2). г) Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если A (0; 0), B (3, 4) и C (5; 9).

Перейти на статью

О подобии произвольных фигур

Центральное подобие является частным случаем так называемого преобразования подобия. Преобразованием подобия с коэффициентом k > 0 называется отображение плоскости на себя, при котором любые две точки A и B переходят в такие точки A1 и B1, что A1B1 = kAB. Примерами преобразования подобия являются движение (при этом k = 1), центральное подобие, а также результат их последовательного выполнения. Преобразование подобия часто используется в геометрии. С его помощью можно ввести понятие подобия произвольных фигур:

Перейти на статью

Движения

Мы говорили, что осевая симметрия является отображением, сохраняющим расстояния. Любое отображение, обладающее этим свойством, называется движением. Таким образом, движение плоскости — это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния. Из этого определения следует, что результат последовательного выполнения двух движений является движением (объясните почему). В частности, последовательное выполнение двух осевых симметрий является движением, сохраняющим не только величину угла, но и его ориентацию.

Перейти на статью

Уравнение прямой

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Oxy. Выведем уравнение прямой, проходящей через точку M0 (x0; y0) перпендикулярно к нулевому вектору {a; b} (рис. 52).

Перейти на статью

Уравнение окружности

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Oxy и дана какая-нибудь линия L (рис. 50). Равенство, содержащее координаты точек, называется уравнением линии L в заданной системе координат, если ему удовлетворяют координаты любой точки M (x; y) линии L и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на линии L.

Перейти на статью

Координаты вектора

Координатами вектора в прямоугольной системе координат называются числа, равные разностям соответствующих координат его конца и начала. Координаты x и y вектора записывают в фигурных скобках после обозначения вектора: {x; y}; при этом говорят, что вектор имеет координаты {x; y}.

Перейти на статью

Прямоугольная система координат

Если проведены две взаимно перпендикулярные оси координат Ox и Oy с общим началом O (рис. 37) и выбрана единица измерения отрезков, то говорят, что задана прямоугольная система координат. Оси Ox и Oy называются соответственно осью абсцисс и осью ординат, а точка O — началом координат. Система координат обозначается как: Oxy.

Перейти на статью

Центральное подобие

Пусть O — данная точка, k — данное число, отличное от нуля. Центральным подобием (или гомотетией) с центром O и коэффициентом k называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка M переходит в такую точку M1, что = k. Сформулируем утверждение об основном свойстве центрального подобия.

Перейти на статью

Задачи повышенной трудности "Введение в стереометрию"

220. Прямые AB и CD не пересекаются и не параллельны. Могут ли прямые AC и BD быть параллельными? 221. В тетраэдре ABCD углы ADB, ADC и BDC прямые. Докажите, что квадрат площади грани ABC равен сумме квадратов площадей остальных граней (пространственная теорема Пифагора). 222. В тетраэдре ABCD сумма углов с вершиной A (т. е. углов BAC, CAD и DAB) равна 180º. Докажите, что грани этого тетраэдра равны друг другу. 223. Изобразите куб и постройте такое его сечение, которое является: а) правильным треугольником; б) квадратом; в) правильным шестиугольником.

Перейти на статью

Задачи повышенной трудности "Площадь"

182. Каждая сторона одного треугольника больше любой стороны другого треугольника. Следует ли из этого, что площадь первого треугольника больше площади второго треугольника? 183. а) Внутри равностороннего треугольника ABC отмечена точка M. Докажите, что сумма расстояний от точки M до прямых AB, BC и CA равна высоте треугольника. б) Внутри правильного шестиугольника ABCDEF отмечена точка M. Докажите, что сумма площадей треугольников ABM, CDM и EFM равна сумме площадей треугольников BCM, DEM и FAM.

Перейти на статью

Вопросы и задачи "Тела и поверхности вращения"

121. а) Найдите объем цилиндра, радиус которого равен 2 см, а высота равна радиусу. б) Призма называется вписанной в цилиндр, если ее основания вписаны в основания цилиндра. Найдите отношение объема правильной шестиугольной призмы, вписанной в цилиндр, к объему цилиндра. в) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра радиуса 2 см, если его высота вдвое больше длины окружности основания. г) Найдите отношение площадей боковых поверхностей двух цилиндров, первый из которых получен вращением прямоугольника АВСD вокруг прямой АВ, а второй – вращением вокруг прямой ВС.

Перейти на статью

Вопросы и задачи "Многогранники"

117. а) Тело T, объем которого равен V, составлено из трех тел: T1, T2 и T3. Сумма объемов тел T1 и T2 равна V1, а сумма объемов тел T2 и T3 равна V2. Найдите объем тела T2. б) Докажите, что боковые грани правильной пирамиды являются равными друг другу равнобедренными треугольниками. в) Найдите площадь грани ABC тетраэдра ABCD, если ∠ADB = ∠BDC = ∠CDA = 90º и DA = DB = DC = 6 см. г) Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды PABCD, если ее высота равна h и ∠PAB = α.

Перейти на статью

Дополнительные задачи "Введение в стереометрию"

§ 24 127. Докажите, что сумма квадратов ребер тетраэдра в 4 раза больше суммы квадратов отрезков, соединяющих середины его противоположных ребер. 128. Докажите, что прямые, проходящие через вершины тетраэдра и точки пересечения медиан противоположных граней, пересекаются в одной точке. 129. Найдите площадь сечения правильной четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через вершины В и D и середину ребра C1D1, если АС = 12 и АА1 = 4.

Перейти на статью

Предмет стереометрии

До сих пор мы занимались планиметрией — изучали свойства геометрических фигур на плоскости. Раздел школьного курса геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве, называется стереометрией.

Перейти на статью