Геометрия Евклида, Лобачевского и Римана

Прекрасная вещь – спелый арбуз. Но как убедиться в его спелости’? Одни стучат по арбузу костяшками согнутых пальцев другие сжимают его с боков, прислушиваясь к внутренним звукам, третьи внимательно изучают хвостик. Однако самый надежный способ – вырезать уголок, вынуть и посмотреть на него. Вы ведь помните, какую форму он имеет?

Перейти на статью

Математическая модель

Блез Паскаль, французский математик и философ, получил не школьное, а домашнее образование. Его учителем был отец, Этьен Паскаль, один из просвещеннейших людей того времени. Согласно учебному плану Паскаля-старшего математику предполагалось проходить с пятнадцати-шестнадцати лет. Но ребенок поломал все планы своего учителя. Услышав от отца про геометрию, узнав от него несколько аксиом из «Начал» Эвклида, Блез стал интересоваться дальнейшим.

Перейти на статью

Определение понятий через род и видовое отличие

Если вы знаете азбуку Морзе, то вам не составит труда прочесть написанное здесь ее знаками слово «математика». Но если вы даже совсем не понимаете языка радистов, для вас, видимо, не секрет, что из этих точек и тире складываются буквы, из букв – слова, из слов – фразы, из фраз – тексты, посылаемые в эфир. Так же и в геометрии: из основных геометрических объектов, таких, как точка и прямая, конструируются объекты все более сложные.

Перейти на статью

Что такое прямая?

Перед вами – малярная кисть, плакатное перо, фломастер и тонко очиненный карандаш. Каким из этих инструментов вы бы воспользовались, чтобы нарисовать прямую линию на бумаге?

Перейти на статью

Площадь прямоугольника

Длины отрезков мы измеряли с помощью линейки, а величины углов — с помощью транспортира. Еще одну из основных геометрических величин — площадь обычно приходится вычислять. За единицу площади принимают площадь квадрата, длина стороны которого равна единице длины. На рисунке 79 сторона квадрата равна 1 см, поэтому его площадь называют квадратным сантиметром. В квадратных сантиметрах удобно указывать, например, площадь страницы учебника, в квадратных метрах — площадь квартиры, сельскохозяйственные поля изменяют в гектарах, а для площадей стран обычно используют квадратные километры.

Перейти на статью

Буквенные выражения

Разные числовые выражения могут иметь одинаковые значения. Так, например, 23 + (7 + 18) = (23 + 7) + 18 = 48. В исходном выражении мы для облегчения устных вычислений переставили скобки. Тем самым мы применили сочетательный закон сложения. При записи сочетательного закона сложения нужно показать, что его можно применять к любым числам. С этой целью в математике числа обычно заменяют строчными латинскими буквами a, b, c, d, … . Тогда для любых чисел a, b и c сочетательный закон сложения будет выглядеть так: a + (b + c) = (a + b) + c.

Перейти на статью

Сложение и вычитание дробей

Складывать и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями легко, так как достаточно при этом складывать и вычитать их числители. Например, Если же знаменатели дробей различны, поможет такое преобразование как приведение дробей к общему знаменателю:

Перейти на статью

Основное свойство дроби

Если сначала числитель дроби умножить на 3, то дробь в 3 раза увеличится, если же затем умножить на 3 и ее знаменатель, то дробь в 3 раза уменьшится, т. е. в итоге она не изменится! Основное свойство дроби. При умножении числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число величина дроби не изменяется. Это свойство дроби настолько часто используется в математике, что его назвали основным.

Перейти на статью

Умножение на дробь

Площадь прямоугольника с измерениями 5 см и 2 см равна их произведению 5 · 2 = 10 (см2). Если уменьшить сторону, равную 2 см, в 3 раза, то и площадь уменьшится в 3 раза. S = 5 · = (5 · 2) : 3 = (см2).

Перейти на статью

Деление на дробь

«До базы еще 15 км, — подумал турист, идущий со скоростью . — Вот если бы у меня был велосипед, я бы двигался в 2 раза быстрее». Чтобы найти, сколько времени туристу предстоит идти до его базы, нужно путь 15 км разделить на скорость км/ч. Поскольку = , приходим к необходимости деления на дробь:

Перейти на статью

Деление дроби на натуральное число

К правилу умножения дроби на натуральное число мы пришли, складывая несколько одинаковых дробей. Например, Этот же результат можно получить и из чисто практических соображений. При делении двух яблок на троих каждому достается по яблока. Если бы яблок было в 5 раз больше (2 · 5 = 10), то каждому досталось бы больше в 5 раз, т. е.

Перейти на статью

Сравнение дробей

Легко сравнивать дроби, числители которых равны. Представив, например, что — доля каждого при дележе трех яблок на четверых, а — доля при дележе тех же яблок на пятерых, получим, что > . Так же просто сравнить дроби с равными знаменателями. Понятно, что чем больше яблок делишь, тем больше будет доля каждого.

Перейти на статью

Умножение дроби на натуральное число

Как известно, сумма одинаковых натуральных чисел — это произведение одного из них на число слагаемых. Точно так же сумма одинаковых дробей — это произведение одной из этих дробей на их количество в сумме: По правилу сложения дробей с равными знаменателями в левой части равенства получается

Перейти на статью

Вектор

Некоторые физические величины, например сила и скорость, задаются не только своим числовым значением (при выбранной единице измерения), но и направлением в пространстве. Такие физические величины называют векторными величинами или коротко — векторами.

Перейти на статью

Сумма векторов

Пусть и — данные векторы (рис. 56, а). Отложим от точки B вектор , равный вектору (рис. 56, б). Вектор , и также любой равный ему вектор, называется суммой векторов и .

Перейти на статью

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению их длин, умноженному на косинус угла между векторами; скалярное произведение двух векторов, хотя бы один из которых нулевой, считается равным нулю.

Перейти на статью

Произведение вектора на число

Возьмем ненулевой вектор и число k ≠ 0. Построим такой вектор , что его длина равна |k|MA, и точка B при k > 0 лежит на луче MA, а при k , и также любой равный ему вектор, называется произведением вектора на число k. Произведением нулевого вектора на любое число и любого вектора на число 0 считается нулевой вектор.

Перейти на статью

Длина вектора и расстояние между двумя точками

Теорема. Длина вектора равна корню из суммы квадратов его координат. Доказательство. Пусть {x; y} — данный вектор. Докажем, что Отложим от начала координат вектор = (рис. 46). Поскольку координаты точки O равны (0; 0), то координаты точки A равны (x; y).

Перейти на статью