Историческая справка по геометрии

Аксиомы геометрии, «Начала» Евклида и геометрия Лобачевского. Основные принципы аксиоматического построения науки впервые отчетливо сформулировал Аристотель, развивая учения Пифагора и Платона. Аристотель отмечал, что при доказательстве того или иного утверждения мы опираемся на ранее установленные факты. Поэтому те положения, с которых мы начинаем построение науки, не могут быть логически доказаны – их следует принять в качестве аксиом. (Слово «аксиома» происходит от греческого слова «достойный».)

Перейти на статью

Историческая справка по геометрии

Геометрия зародилась 4000 лет назад в Древнем Египте и Вавилонии в связи с потребностями измерения земельных участков, построения храмов и дворцов. Когда Нил размывал участок обрабатываемой земли, для взимания налогов было важно знать, сколько именно земли потеряно. Египетские землемеры использовали для своих измерений и построений туго натянутые веревки.

Перейти на статью

Введение к учебнику геометрии, 8 класс

Мы продолжаем изучение свойств геометрических фигур на плоскости, познакомимся с новыми фигурами и их свойствами, введем новые понятия. При этом мы будем опираться на то, что вы узнали из учебника геометрии 7 класса. Напомним утверждения, доказанные в этом учебнике. В первой главе рассматривались простейшие геометрические фигуры: точки, прямые, отрезки, лучи, углы. В этой главе мы доказали следующие утверждения: сумма смежных углов равна 180°; вертикальные углы равны;

Перейти на статью

Объединение множеств

Помните загадку-шутку: два отца и два сына, а всего трое – как такое может быть? По-видимому, вы знаете ответ: это мальчик, его отец и его дед. Но даже если это известно, остается поразмышлять вот над чем: в чем, собственно, парадоксальность загадки? Да в том, что речь тут идет совсем не о числах (иначе загадка не имела бы решения: два плюс два никак не равно трем). Суть дела относится к теории множеств.

Перейти на статью

Декартово произведение множеств

Взгляните на левый рисунок на этой странице. Такая позиция сложилась на 26-ходу в 21-й партии титанического матча между Капабланкой и Алехиным, состоявшегося осенью 1927 года. Мы надеемся, что любитель шахмат получит некоторое удовольствие, разбирая фрагмент знаменитой партии. Но, право, мы были бы бестактны, если бы привели пример, понятный лишь шахматистам. Есть в нем нечто, что имеет непосредственное отношение к теме нашего разговора о теории множеств.

Перейти на статью

Алгебра множеств

Читатель, подробно разбиравший нарисованные на предыдущих страницах диаграммы Венна, конечно, обратил внимание на строчки символов, которыми сопровождался каждый рисунок. Большие латинские буквы повторяют в этих строчках обозначения множеств, изображенных на картинках, а значки, соединяющие буквы, обозначают операции над множествами, проиллюстрированные картинками. Эти цепочки символов навевают воспоминания о формулах школьной алгебры, где маленькие латинские буквы, обозначавшие вещественные числа, соединялись знаками арифметических операций. Такая аналогия совершенно справедлива.

Перейти на статью

Подмножества

Делу время – потехе час. Дел у нас с вами, читатель, еще много, а вот для развлечений может не выкроиться ни минутки. Поэтому отведем забавам хотя бы эту страничку. Давайте сыграем в слова. Правила игры предельно просты: берется какое-то слово, и из его букв образуются новые слова. Не будем лазить за исходным словом в карман: нам вполне подойдет заголовок этой главы. МНОЖЕСТВА нож нос сон стон жена манеж жетон монета жеманство А теперь, читатель, забавы в сторону – займемся делом.

Перейти на статью

Понятия математики

Говорят, что над входом в сад «Академия», где Платон любил беседовать со своими учениками, было написано: «Да не войдет сюда тот, кто не знает геометрии».

Перейти на статью

Отношения между множествами

Руководитель, школьного хора составляет расписание репетиций. «Так… Четвертые классы… Их три: А, Б, В. Из четвертого А восемь человек. Не густо, но зато два солиста. Четвертый Б. Ну, эти все певуны – всем классом записались. Четвертый В. Ни одного человека! Чем они там занимаются? Ах да, все они в кукольном театре, только из них он и состоит». Руководителю хора еще предстоит согласовывать и увязывать сроки спевок и репетиций, а для наших целей наговоренного им вполне достаточно. Он описал все возможные отношения, какие могут существовать между двумя множествами.

Перейти на статью

Пересечение и разность множеств

Поглядите еще раз в наш бинокль, читатель, да повнимательней. Замечаете ли вы, что отнюдь не все предметы, которые видны в него, выглядят выпуклыми, объемными? Дело в том, что объемность появляется у них лишь тогда, когда человек глядит на них обоими глазами. Недаром физиологи называют объемное зрение бинокулярным (так сказать, «зрением в два глаза»).

Перейти на статью

Декартова и полярная системы координат

Есть города, основатели которых словно отдавали дань точным наукам. Математическая строгость с самого начала вносилась в планы таких городов. Вот карта одного из старейших районов Петербурга — Васильевского острова. Его линии и проспекты, пересекаясь под прямым углом образуют геометрически правильную сетку.

Перейти на статью

Бесконечные множества

У Марины Цветаевой в очерке «Мать и музыка» есть такие строки: «До явно белое, пустое, до – всего, ре – голубое, ми – желтое (может быть – midi?), фа – коричневое (может быть, фаевое выходное платье матери, а ре – голубое – река?)»

Перейти на статью

Графики отображений

Когда мы знакомились с пересечением и объединением множеств, с включением одного множества в другое, на память о каждой операции над множествами или отношении между ними нам оставалась выразительная символическая картинка – диаграмма Венна. Вероятно, читателю хочется получить подобный сувенир, который давал бы наглядное представление о понятии отображения.

Перейти на статью

Отображение и функция

В своих рассуждениях мы употребляли эти слова вперемежку, и читатель мог посчитать их синонимами. Это не совсем так. Чтобы показать тонкую разницу между ними, обратимся к нашим испытанным примерам отображений. Пример с гостиницей. Каждому номеру ставится в соответствие ключ. В роли прообразов здесь выступают числа (номера). Всякое такое отображение называется функцией числового аргумента.

Перейти на статью

Примеры различных отображений

Если читатель проглядит еще раз примеры, через которые мы подводили его к понятию отображения, то он, конечно, заметит что-то неладное в примере с рыбаком. Во-первых, для некоторых рыб рекомендуется сразу несколько наживок (окуню ставится в соответствие выползок и ручейник, плотве – ручейник и мотыль). А определение отображения требует, чтобы каждому элементу множества прообразов соответствовал точно один образ. Во-вторых, некоторым рыбам (стерлядь, щука) не соответствует никакая наживка. А определение отображения требует, чтобы образ был у каждого элемента множества прообразов.

Перейти на статью

Эквивалентные множества и их свойства

«Занимайте места согласно купленным билетам» – это неписанное правило коротко и ясно определяет отображение множества зрителей на множество кресел. Зрители – прообразы, кресла – образы. Быть может, этот пример вызывает у нас неприятные воспоминания. Вероятно, с вами случались такие казусы, когда, придя в кинотеатр, вы обнаруживали, что ваше место уже занято: растаяв-кассир продал на него два билета. Вам ничего не остается, как искать свободное кресло, билет на которое остался непроданным.

Перейти на статью

Континуальное множество

Диковинный мир, в котором Гильберт построил свою гостиницу, – это, конечно, математическая фантазия. Сейчас мы продемонстрируем еще одно явление того же рода, вполне реальное, но еще более удивительное.

Перейти на статью

Графики отношений

Любой, даже малосведущий в медицине читатель знает: кровь каждого человека относится к одной из четырех групп. Это существенно осложняет переливание крови от одного человека другому: надо быть уверенным, что кровь первого подойдет второму.

Перейти на статью

Относительность аксиом

Мы подозреваем, что у читателя уже зародился вопрос: какая из геометрий самая правильная? Геометрия Эвклида? Лобачевского? Римана? Чьи аксиомы самые точные? Увы, этот вопрос не имеет смысла. Спрашивать так может лишь тот, кто считает, что аксиомы – это истины очевидные, незыблемые, единственно мыслимые, устанавливаемые раз и навсегда и т.п. Это неверно. Напомним: аксиомы – это положения, без доказательств принимаемые в качестве исходных при рассуждениях.

Перейти на статью