Декартово произведение множеств

Взгляните на левый рисунок на этой странице.

Такая позиция сложилась на 26-ходу в 21-й партии титанического матча между Капабланкой и Алехиным, состоявшегося осенью 1927 года.

Мы надеемся, что любитель шахмат получит некоторое удовольствие, разбирая фрагмент знаменитой партии. Но, право, мы были бы бестактны, если бы привели пример, понятный лишь шахматистам. Есть в нем нечто, что имеет непосредственное отношение к теме нашего разговора о теории множеств.

Присмотритесь к записи, не вникая в ее смысл. Всюду в ней встречаются характерные пары, образованные из строчной латинской буквы и натурального числа: f6, b2, c1…

На прописные латинские буквы обращать внимание не будем – это сокращенные обозначения фигур. Чтобы они не составили нам помехи, уберем фигуры с доски.

Что останется на ней тогда? Только лишь разметочные знаки. Внизу – горизонтальный ряд букв, от a до h. Слева– вертикальный столбик чисел, от 1 до 8.

Каждая буквенно-числовая пара, о которой говорилось выше, образуется так: сначала берется элемент из первого, буквенного множества и за ним ставится элемент, выбранный из второго, числового множества.

Кстати, само слово «пара» – термин теории множеств. Так называются два элемента, расположенных в определенном порядке (поэтому часто говорят не «пара», а «упорядоченная пара»).
Не довольствуясь несколькими вышеприведенными примерами, образуем всевозможные пары описанного вида. Их множество мы назовем декартовым произведением двух исходных множеств – буквенного и числового (читатель, вероятно, уже заметил про себя, что новообразованное множество насчитывает 64 элемента, ровно по числу клеток шахматной доски – ведь каждой клетке соответствует своя пара, и, наоборот, каждая пара кодирует свою клетку).

Понятие, с которым мы только что познакомились, настолько важно, что мы приведем особо его строгое определение: декартовым (или прямым) произведением одного множества на другое называется множество всевозможных пар, первые элементы которых принадлежат одному множеству, а вторые – другому.

Теперь давайте разберем еще одну партию.

Читатель, даже не очень сведущий в шахматах, вероятно, сразу заметил: здесь что-то не так. Действительно, мы сделали некоторую перестановку: в наших буквенно-числовых парах (2е, 4d, 7c) на сей раз сначала идут цифры, а потом уже буквы. А ведь в данном выше определении пары подчеркивалось, что порядок элементов в ней существен. И потому мы не можем назвать равными, скажем, две такие пары: e2 и 2e. Стало быть, множество буквенно-числовых пар, о которых говорилось в предыдущем разделе (f6, e2, c1, d4 и т.п.), не равно множеству пар, появившихся в нашем рассказе сейчас (2e, 6f, 4d, 1c и т. п.), – ведь эти множества состоят не из одних и тех же элементов.

Вывод? Он очевиден: произведение двух различных множеств меняется от перемены мест сомножителей – в противоположность произведению чисел, для которого справедлив переместительный закон. Для множеств такого закона нет.

Перестановка сомножителей ничего не изменит лишь в том случае, когда перемножаемые множества равны. Впрочем, и здесь все не так просто.

Возьмем только что применявшееся нами множество целых чисел от 1 до 8. Умножим его на себя. В произведении получится множество всевозможных пар вида:
(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,4)…

Не кажется ли вам повторением наличие в этой строчке пар (1,2) и (2,1)?

Мы сочтем свой рассказ не напрасным, если вы ответите: нет, эти пары не равны, хотя и образованы одинаковыми элементами, потому что расположены эти элементы а разном порядке.

Совокупность упорядоченных пар, на первом месте в которых стоит элемент одного множества, а на втором– элемент другого, мы назвали декартовым произведением первого множества на второе.

Можно говорить не только о парах, но и, скажем, о тройках – разумеется, тоже упорядоченных. Например, все обеды из трех блюд – это тройки, первый элемент которых принадлежит множеству первых блюд, второй – множеству вторых, третий – множеству третьих. (Упорядоченность таких троек подчеркивается названиями блюд: первое, второе, третье.) Такие обеды, составленные во всевозможных сочетаниях по естественному порядку блюд, очевидно, образуют декартово произведение трех множеств, где первый сомножитель – это множество первых блюд, второй и третий – множества вторых и третьих блюд соответственно.

Три блюда, конечно, не предел для тренированного едока. Помните те обеды, которыми турецкий султан угощал достославного барона Мюнхаузена? Согласно уверениям барона, о честности которого ходят легенды, число блюд в этих обедах было умопомрачительно большим, так что для математического описания тех знаменитых трапез потребовалось бы понятие упорядоченной n-ки.

(Читатель, вероятно, знает, что в математике буква n применяется для обозначения натуральных чисел и преимущественно в тех случаях, когда под нею можно подразумевать произвольное натуральное число.)

Таким понятием располагает теория множеств. Упорядоченной n-кой называется набор из n элементов, где на первом месте стоит элемент первого множества, на втором – второго и так далее – до n-ного. Всевозможные такие n-ки образуют декартово произведение тех n множеств, из которых берутся элементы для образования упорядоченных n-ок.

Сомножители в произведениях множеств могут быть и одинаковыми. Попробуйте-ка представить, например, что получится, если множество букв русского алфавита трижды умножить на себя. Очевидно, в результате получится множество упорядоченных троек букв, иными словами, множество всех трехбуквенных слов русского языка, осмысленных и не имеющих смысла: бал, лоб, мул, дыр, бул, щыл…

Заметим, что упорядоченные n-ки из элементов некоторого множества называют еще n-мерными векторами, определенными на этом множестве. (Наряду с термином «вектор» иногда в таких случаях употребляется равнозначный ему термин «кортеж».)

Элементы, составляющие ту или иную n-ку, называются ее компонентами, или координатами, и различаются по порядку: первая компонента, вторая и так далее.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *