Бесконечные множества

У Марины Цветаевой в очерке «Мать и музыка» есть такие строки:

«До явно белое, пустое, до – всего, ре – голубое, ми – желтое (может быть – midi?), фа – коричневое (может быть, фаевое выходное платье матери, а ре – голубое – река?)»

Можно удивляться продемонстрированному здесь богатству поэтической фантазии. Можно не соглашаться с этими цветомузыкальными соответствиями (написавшая процитированные строки и сама говорит далее, что у каждого свои резоны на звуки и краски). Но бесспорно одно: есть нечто общее между семью нотами гаммы и семью цветами радуги. Это «нечто» роднит оба названных множества и с семью днями недели, и с семью струнами гитары, и с семью чудесами свата, и с семью холмами, на которых стоит Рим, и с семью гномами из сказки о Белоснежке…

Это нечто общее выражается словом «семь». Все перечисленные множества попарно эквивалентны, и в каждом из них – по семь элементов.

Обратите внимание: именно так в математике и возникает понятие натурального числа.

Натуральное число – это общее свойство попарно эквивалентных конечных множеств.

Так, число пять – это выражение той общности, которая связывает попарно эквивалентные множества пяти олимпийских колец, пяти материков, пяти лучей морской звезды, пяти пальцев на руке.

У читателя, прочитавшего предыдущий отрывок, могло создаться впечатление: чтобы установить эквивалентность двух множеств, сначала надо пересчитать одно, потом другое и затем, сравнив их численности, убедиться, одинаково ли количество элементов в них.

Но ведь, говоря так, мы оказываемся в порочном кругу. В самом деле, понятие натурального числа мы строили на основе понятия эквивалентности множеств, а теперь пытаемся устанавливать эту эквивалентность, основываясь на понятии натурального числа.

Порочного круга избежать можно. Эквивалентность множеств можно устанавливать без всякого пересчета.

В партии перчаток, поступивших в магазин, множество левых перчаток эквивалентно множеству правых– утверждать это можно, не заглядывая в накладную.

«На каждый прилив – по отливу», – сказал поэт, провозгласив тем самым, что множество приливов эквивалентно множеству отливов, хотя их никто не считал и вообще не может пересчитать: приливные волны набегали на берега материков, когда на них и не пахло жизнью. И будут набегать еще века и века…

Этот образ навевает мысль о бесконечности. В нашем рассказе об эквивалентности множеств она не представляется чужеродной. Примеры с перчатками и приливами явно подсказывают, что можно установить эквивалентность не только конечных, но и бесконечных множеств.

Но стоп! Бесконечность – вещь непростая, и прежде чем рассуждать об эквивалентности бесконечных множеств, разберем несколько наводящих примеров.


«Мест нет».

Туристам и командированным, вероятно, хорошо знакомо это традиционное «приветствие», которым их встречала не одна гостиница.

А вот немецкий математик Давид Гильберт спроектировал такую гостиницу, в которой не возникает никаких проблем с размещением гостей.

Администратор такой гостиницы спокоен даже тогда, когда все номера заполнены. Даже в такой ситуации он никогда не откажет вновь прибывшему.

– Вы желаете одноместный номер? Милости просим. Только придется немного подождать. Сейчас мы переселим жильца из первого номера во второй, жильца из второго – в третий, жильца из третьего – в четвертый и так далее. И пожалуйста – номер первый к вашим услугам.

Разумеется, то, что проделал администратор гостиницы Гильберта, невыполнимо ни в одной реальной гостинице. Будь в ней даже миллион номеров, жилец последнего номера в результате вышеописанного переселения окажется выселенным. Такого не случится лишь в гостинице, где за каждым номером, к какому ни подойди, есть дверь следующего.

Очевидно, количество номеров в татой гостинице бесконечно. Мы произносим это слово уже вполне сознательно и без всякой опаски, ибо рассказ о гостинице Гильберта позволяет строго определить понятие бесконечного множества.

Но прежде чем формулировать это определение, поговорим еще о достоинствах замечательной гостиницы.

Оказывается, она способа принять даже такую туристскую группу, число участников которой бесконечно. Что в таком случае делает администратор? Например, переселяет жильцов из первого номера во второй, из второго – в четвертый, из третьего – в шестой… Короче говоря, у каждого жильца в ордере на поселение прежний номер заменяется номером вдвое большим. Таким образом, заселяются лишь четные номера, а первый, третий, пятый и все остальные нечетные оказываются свободными. В них и поселяют одного за другим туристов из бесконечно большой группы.

Обратимся к схемам переселения, которое провел администратор гостиницы Гильберта в первый и во второй раз. Первая строка каждой таблицы показывает размещение жильцов до переселения, вторая – после. Жирные цифры обозначают занятые номера, светлые – свободные. Стрелки указывают порядок переселения. Одновременно они позволяют установить взаимно однозначное соответствие между множествами номеров, занятых до и после переселения.

Но ведь до переселения (и первого, и второго) были заняты все номера гостиницы, все их множество, а после – лишь часть этого множества, лишь его истинное подмножество (то есть включенное во множество, но не равное ему, вспомните поговорку: «Всякая селедка рыба, но не всякая рыба – селедка»).

Итак, оба раза мы установили взаимно однозначное соответствие между всем множеством и его истинным подмножеством. Часть множества эквивалентна целому. Ну не диковинка ли?

Для конечных множеств – диковинка. Для бесконечных – естественное явление, фундаментальное свойство, которое можно принять за их определение.

Бесконечным называется множество, из которого можно выделить эквивалентное ему истинное подмножество.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *