Эквивалентные множества и их свойства

«Занимайте места согласно купленным билетам» – это неписанное правило коротко и ясно определяет отображение множества зрителей на множество кресел. Зрители – прообразы, кресла – образы.

Быть может, этот пример вызывает у нас неприятные воспоминания. Вероятно, с вами случались такие казусы, когда, придя в кинотеатр, вы обнаруживали, что ваше место уже занято: растаяв-кассир продал на него два билета. Вам ничего не остается, как искать свободное кресло, билет на которое остался непроданным.

Какие же требования следует наложить на отображение, чтобы исключить подобные вещи – и накладки, и пропуски? Этих требований два, и они совершенно очевидны.

Во-первых, разным прообразам должны соответствовать разные образы (тогда не будет накладок: каждый зритель получит свое кресло).

Во-вторых, каждый элемент множества, которому принадлежат образы, должен иметь прообраз (тогда не будет пропусков: каждое кресло получит своего зрителя).

Всякое такое отображение называется взаимно однозначным соответствием.

Смысл этого термина станет совершенно понятным, если два требования, которым должно удовлетворять любое отображение без накладок и пропусков, мы попытаемся сформулировать одной фразой. Тогда определяющее свойство такого отображения выразится так: каждый элемент множества, которому принадлежат образы, имеет прообраз, и притом только один.

«Постойте! – вероятно, уже напрягает память читатель. – Где-то раньше мне уже встречалась очень похожая фраза!»

Спешим с подсказкой – давая определения понятию отображения, мы подчеркивали: каждый элемент множества прообразов имеет образ, и притом только один. (Если не выполнено хотя бы одно из этих двух условий, соответствие не получит звание отображения – вспомните пример с рыбаком!)

Сравним теперь две фразы, обращающие на себя внимание своим сходством:
каждый элемент множества, которому принадлежат образы, имеет прообраз, и притом только один;
каждый элемент множества прообразов имеет образ, и притом только один.

Эти фразы взаимозаменяемы, не правда ли? Стоит лишь поменять местами слова «прообраз» и «образ». Отсюда и термин «взаимно однозначное соответствие».

Такое переименование можно произвести с любой парой «прообраз – образ». И тогда множество образов взаимно отобразится на множество прообразов.

В нашем кинопримере для этого достаточно каждому креслу поставить в соответствие сидящего в нем зрителя. Это отображение называется обратным по отношению к тому, которое каждому зрителю ставило в соответствие его кресло.

Два множества, между которыми можно установить взаимнооднозначное соответствие, называются эквивалентными.

Множество месяцев в году, например, эквивалентного множеству зодиакальных созвездий. Оттого-то древний астролог, составляя гороскоп для очередного клиента, не указывал, в каком месяце тот родился, а витиевато писал: «Появился на свет под таким-то знаком зодиака».

Множество цветов в спектре эквивалентно множеству нот в гамме. (Недаром иные незатейливые проекты цветомузыки предполагают, что на экране вспыхивают цвета, соответствующие нотам мелодии.)

Если, прочтя наши примеры, вы начали подыскивать свой собственный, а дело не клеится, не отчаивайтесь. У вас всегда в запасе предельно простой вариант: возьмите любое множество и с каждым его элементом сопоставьте тот же самый элемент. Такое отображение множества не себя называется тождественным.

Не смущайтесь незатейливостью этого примера. У него есть свои достоинства. Он иллюстрирует одно из трех свойств, которыми обладает эквивалентность множеств. Именуется это свойство рефлексивностью, и. заключается оно в том, что любое множество эквивалентно самому себе.

А остальные свойства?

Довольно очевидно, что если мы подыскали для некоторого множества другое, ему эквивалентное, то второе множество будет эквивалентно первому. В этом выражается второе свойство эквивалентности множеств, именуемое симметричностью.

Доказать его просто. Ведь эквивалентность множеств заключается в том, что между ними можно установить, некоторое взаимно однозначное соответствие. А оно, как мы видели в предыдущем разделе, работает в обе стороны, С его помощью можно отобразить первое множество. на второе, но также можно, взяв обратное к этому отображению, отобразить второе множество на первое.

Еще пример, где множество месяцев в году отображается на множество знаков зодиака. Вспомним циферблат больших часов Казанского вокзала в Москве: знаки зодиака сопоставлены там с цифрами, обозначающими часы дня. Опустив промежуточные звенья, можно сопоставить напрямую месяцы и часы. В самом деле, если январь соответствует Водолею, а Водолей на часовом циферблате ставится рядом с цифрой 1, то это означает, что январь соответствует первому часу дня. Аналогичным образом февралю можно поставить в соответствие второй час, марту – третий и так далее до декабря, который окажется сопоставленным с двенадцатым часом.

Отображение множества месяцев на множество часов возникает при этом как результат определенной комбинации трех отображений, первое из которых сопоставляет месяцы со знаками зодиака, второе – знаки зодиака с цифрами от 1 до 12, третье – цифры с часами дня. Такая комбинация называется произведением, или суперпозицией, отображений.

Итак, мы видим: если в цепочке множеств любые два соседа эквивалентны друг другу, то эквивалентны и множества, стоящие по краям цепочки. В этом выражается третье свойство эквивалентности множеств, именуемое транзитивностью.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *