Некоторые физические величины, например сила и скорость, задаются не только своим числовым значением (при выбранной единице измерения), но и направлением в пространстве. Такие физические величины называют векторными величинами или коротко — векторами.
В геометрии векторы определяются следующим образом. Рассмотрим отрезок AB. На нем можно указать два направления: от A к B и от B к A (рис. 40). Чтобы выбрать одно из них, поступим так: одну из точек, A или B, назовем началом, другую — концом и будем считать, что отрезок направлен от начала к концу. Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой — концом, называется вектором. На рисунках вектор изображается отрезком со стрелкой на конце. Вектор с началом A и концом B обозначают так: 
(рис. 41).
Ясно, что с каждым отрезком AB, концы которого не совпадают, связаны два вектора: (A — начало, B — конец) и (B — начало, A — конец). Говорят, что вектор является противоположным вектору , и пишут = –. Если же концы отрезка совпадают, т. е. отрезок состоит из одной точки, то соответствующий этому отрезку вектор называется нулевым. Вектором, противоположным нулевому вектору, считается сам этот вектор.
На рисунке 42, а изображены ненулевые векторы , 
, (точки A, C, E — их начала, точки B, D, F — их концы) и нулевой вектор. Иногда векторы обозначают одной малой латинской буквой со стрелкой над ней: 
, 
, 
(рис. 42, б), а нулевой вектор — символом.
Длиной или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка AB; длина нулевого вектора считается равной нулю. Длина вектора обозначается так: ||.
На рисунке 42 || = 6, || = 5, || = 2,5, || = 0, || = 2√5, || = 7, || = 3 (каждая клетка на рисунке имеет сторону, равную единице измерения отрезков).
В курсе физики векторы называются равными, если их длины равны и они одинаково направлены. Это определение, при всей своей наглядности, обладает тем недостатком, что им трудно пользоваться при доказательстве утверждений о равных векторах. Поэтому мы будем исходить из другого определения, приводящего, впрочем, к тем же выводам.
Определение. Векторы и называются равными, если середины отрезков AD и BC совпадают.
Обсудим это определение.
Если векторы и нулевые, то точка A совпадает с точкой B, а точка C — с точкой D, поэтому отрезки AD и BC совпадают, а значит, совпадают их середины. Следовательно,
- все нулевые векторы равны друг другу.
Пусть теперь вектор ненулевой и = . Обозначим общую середину отрезков AD и BC буквой O. Возможны два случая.
1) Точка O не лежит на прямой AB. В данном случае пересекающиеся в точке O отрезки AD и BC являются диагоналями четырехугольника ABDC (рис. 43, а). Так как точкой пересечения они делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм. Следовательно, AB || CD, AB = CD и векторы и одинаково направлены — их концы B и D лежат по одну сторону от прямой AC, проходящей через начала этих векторов.
2) Точка O лежит на прямой AB. В этом случае точки C и D также лежат на прямой AB. Введем ось координат Ox так, чтобы точки A, B, C и D лежали на этой оси. Пусть координата точки A на оси Ox равна a, а координата точки B равна b (рис. 43, б). Так как точка O(0) — середина отрезков AD и BC, то координата точки D равна –a, а координата точки C равна –b (п. 84). Мы видим, что векторы и лежат на оси Ox, причем разность b – a координат конца и начала вектора равна разности координат конца и начала вектора . Из этого следует, что AB = CD и векторы и одинаково направлены (на рисунке 43, б их направление совпадает с направлением положительной полуоси оси Ox).
Таким образом,
- равные ненулевые векторы лежат либо на параллельных прямых, либо на одной прямой, их длины равны, и они одинаково направлены.