{(x1 + x2) + x3; (y1 + y2) + y3}, т. е. {x1 + x2 + x3; y1 + y2 + y3}.
Такие же координаты имеет вектор 
+ (
+ 
). Следовательно, ( + ) + = + ( + ). Теорема доказана.
Ненулевые векторы называют коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых; нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
Рассмотрим еще один способ обоснования справедливости равенства 1 для неколлинеарных векторов и .
Обратимся к рисунку 60, на котором от точки A отложены векторы 
= и = и построен параллелограмм ABCD. По правилу треугольника = + = + и = + = + . Следовательно, + = + .
Это доказательство дает нам еще один способ построения суммы двух неколлинеарных векторов и , который называется правилом параллелограмма: нужно отложить от какой-нибудь точки A векторы = и = и построить параллелограмм ABCD (см. рис. 60). Тогда вектор будет равен + . Это правило часто используется в физике, например при сложении двух сил.
Замечание. Из доказанной теоремы следует, что сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются. На рисунке 61 показано построение суммы трех векторов: от произвольной точки A отложен вектор = , от точки B отложен вектор = , а от точки C отложен вектор 
= . В результате получился вектор, равный + +
Аналогичным образом можно построить сумму четырех, пяти, шести (рис. 62) и вообще любого числа векторов. Такой способ построения суммы нескольких векторов называется правилом многоугольника.
Правило многоугольника можно сформулировать и так: если A1, A2, …, An — произвольные точки плоскости, то
Подчеркнем, что это равенство справедливо для любых точек A1, A2, …, An, в частности, в том случае, когда некоторые из них совпадают. Например, если точка A1 совпадает с точкой An, то сумма данных векторов равна нулевому вектору.