Скалярное произведение векторов

* = x1x2 + y1y2. (2)

Сопоставляя это равенство с условием перпендикулярности ненулевых векторов (формула (7), п. 89), приходим к выводу

  • скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Из формулы (1) следует, что

  • скалярное произведение ненулевых векторов и положительно (отрицательно) тогда и только тогда, когда < 90º ( > 90º).

На рисунке 64

Докажем, что скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами.

Доказательство. Справедливость утверждения 1 следует из формулы 2 = ||2, а утверждение 2 — из определения скалярного произведения.

Докажем утверждения 2 и 4. Для этого введем прямоугольную систему координат и обозначим координаты векторов , и так: {x1; y1}, {x2; y2}, {x3; y3}. Используя формулу (2), выражающую скалярное произведение векторов через их координаты, получаем:

Утверждение 3 доказано.

Вектор k имеет координаты {kx1; ky1}, поэтому

Утверждение 4 доказано.

Отметим, что утверждение 3 обобщается на любое число слагаемых. Например,

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *