Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

= x + y, (3)

где x и y — некоторые числа, то говорят, что вектор разложен по векторам и . Числа x и y называются коэффициентами разложения вектора по векторам и .

Теорема. Если векторы и не коллинеарны, то любой вектор можно разложить по векторам и , причем коэффициенты этого разложения определяются единственным образом.

Доказательство. Отметим произвольную точку O и отложим от нее векторы = , = и = . Введем прямоугольную систему координат Oxy так, чтобы вектор oa_vec лежал на оси Ox, и обозначим координаты векторов, и следующим образом: {a; 0}, {b₁; b₂} и {c₁; c₂} (рис. 65).

Векторы и не коллинеарны, поэтому a ≠ 0 и b ≠ 0. Записывая равенство (3) в координатах, получаем систему двух уравнений относительно x и y:

c₁ = xa + yb₁, c₂ = yb₂. (4)

Поскольку b₂ ≠ 0, то из второго уравнения можно найти (причем единственным образом) y; подставляя найденное значение y в первое уравнение и учитывая, что a ≠ 0, можно найти (единственным образом) x. Следовательно, существует, и притом единственная, пара чисел x и y, для которых выполнены равенства (4), равносильные равенству (3). Теорема доказана.

Обратим внимание на то, что если векторы и коллинеарны, то вектор, как и вектор, лежит на оси Ox, т. е. c₂ = 0. В этом случае из второго уравнения системы (4) получаем y = 0, и, следовательно, = x. Таким образом,

• если векторы и коллинеарны и ≠, то существует такое число x, что = x, причем это число определяется единственным образом.