= x
+ y
, (3)
где x и y — некоторые числа, то говорят, что вектор разложен по векторам
и
. Числа x и y называются коэффициентами разложения вектора
по векторам
и
.
Теорема. Если векторы и
не коллинеарны, то любой вектор
можно разложить по векторам
и
, причем коэффициенты этого разложения определяются единственным образом.
Доказательство. Отметим произвольную точку O и отложим от нее векторы = , =
и =
. Введем прямоугольную систему координат Oxy так, чтобы вектор oa_vec лежал на оси Ox, и обозначим координаты векторов, и следующим образом: {a; 0}, {b1; b2} и {c1; c2} (рис. 65).
Векторы и
не коллинеарны, поэтому a ≠ 0 и b ≠ 0. Записывая равенство (3) в координатах, получаем систему двух уравнений относительно x и y:
c1 = xa + yb1, c2 = yb2. (4)
Поскольку b2 ≠ 0, то из второго уравнения можно найти (причем единственным образом) y; подставляя найденное значение y в первое уравнение и учитывая, что a ≠ 0, можно найти (единственным образом) x. Следовательно, существует, и притом единственная, пара чисел x и y, для которых выполнены равенства (4), равносильные равенству (3). Теорема доказана.
Обратим внимание на то, что если векторы и
коллинеарны, то вектор, как и вектор, лежит на оси Ox, т. е. c2 = 0. В этом случае из второго уравнения системы (4) получаем y = 0, и, следовательно,
= x
. Таким образом,
- если векторы
и
коллинеарны и
≠, то существует такое число x, что
= x
, причем это число определяется единственным образом.