Угол между векторами

A (x₀ + x₁; y₀ + y₁) и B (x₀ + x₂; y₀ + y₂).

Если точки M, A и B не лежат на одной прямой (рис. 48), то по теореме косинусов

AB² = MA² + MB² – 2MA * MB * cos α.

Это равенство верно и в том случае, когда точки M, A и B лежат на одной прямой (рис. 49). Из него следует, что

cos α = (MA² + MB² – AB²) / (2MA * MB). (6)

Зная координаты концов отрезков AB, MA и MB, по формуле (4) п. 88 получаем (проделайте вычисления самостоятельно):

Подставляя эти выражения в равенство (6), приходим к формуле (5). Теорема доказана.

Из этой теоремы следует, что величина угла α не зависит от выбора точки M, от которой откладываются векторы и . Иными словами, если = и =, то ∠AMB = ∠KNL.

Ненулевые векторы и называются перпендикулярными ( ⊥ ), если угол между ними равен 90º. Угол между векторами и часто обозначают так:.

Если {x₁; y₁} ⊥ {x₂; y₂}, то cos () = 0, поэтому числитель в формуле (5) равен нулю: x₁x₂ + y₁y₂ = 0.

Обратно, если x₁x₂ + y₁y₂ = 0 и векторы и ненулевые, то cos () = 0 согласно формуле (5), и, следовательно, = 90º, т. е. ⊥ . Таким образом, мы доказали, что

• ненулевые векторы {x₁; y₁} и {x₂; y₂} перпендикулярны тогда и только тогда, когда

x₁x₂ + y₁y₂ = 0. (7)

Отсюда, в частности, следует, что если {x; y} ≠, то вектор {y; –x} перпендикулярен к вектору , причем || = || (докажите справедливость этого равенства).