A (x0 + x1; y0 + y1) и B (x0 + x2; y0 + y2).
Если точки M, A и B не лежат на одной прямой (рис. 48), то по теореме косинусов
AB2 = MA2 + MB2 – 2MA * MB * cos α.
Это равенство верно и в том случае, когда точки M, A и B лежат на одной прямой (рис. 49). Из него следует, что
cos α = (MA2 + MB2 – AB2) / (2MA * MB). (6)
Зная координаты концов отрезков AB, MA и MB, по формуле (4) п. 88 получаем (проделайте вычисления самостоятельно):
Подставляя эти выражения в равенство (6), приходим к формуле (5). Теорема доказана.
Из этой теоремы следует, что величина угла α не зависит от выбора точки M, от которой откладываются векторы и
. Иными словами, если
= и =, то ∠AMB = ∠KNL.
Ненулевые векторы и
называются перпендикулярными (
⊥
), если угол между ними равен 90º. Угол между векторами
и
часто обозначают так:.
Если {x1; y1} ⊥
{x2; y2}, то cos () = 0, поэтому числитель в формуле (5) равен нулю: x1x2 + y1y2 = 0.
Обратно, если x1x2 + y1y2 = 0 и векторы и
ненулевые, то cos () = 0 согласно формуле (5), и, следовательно, = 90º, т. е.
⊥
. Таким образом, мы доказали, что
- ненулевые векторы
{x1; y1} и
{x2; y2} перпендикулярны тогда и только тогда, когда
x1x2 + y1y2 = 0. (7)
Отсюда, в частности, следует, что если {x; y} ≠, то вектор
{y; –x} перпендикулярен к вектору
, причем |
| = |
| (докажите справедливость этого равенства).