Дополнительные задачи "Векторы и координаты"

§ 19
31. Четырехугольники ABCD и A1BC1D — параллелограммы. Докажите, что .

32. Треугольники ABC и AB1C1 имеют общую медиану AM. Докажите, что .

33. Напишите уравнение окружности с центом на оси ординат, проходящей через точки A (3; 8) и B (–4; 1).

34. Является ли отрезок с концами A (–3; 4) и B (–7; –4) диаметром окружности (x + 5)2 + y2 = 20?

35. Напишите уравнение окружности, вписанной в треугольник с вершинами A (–3; –1), B (1; 2), C (5; –1).

36. Докажите, что сумма квадратов расстояний от любой точки окружности до вершин описанного около нее квадрата есть величин постоянная.

37. Докажите, что сумма квадратов расстояний от любой точки окружности до вершин вписанного в нее квадрата есть величина постоянная.

38. Даны две точки A и B. Найдите множество всех точек M плоскости, для каждой из которых AM2 + BM2 = k2, где k — данное число.

39. Три вершины параллелограмма ABCD имеют координаты: A (2; –3), B (2; 1), C (–2; 3). Напишите уравнение прямой BD.

40. Прямая y + 2x – 1 = 0 пересекает ось Oy в точке A. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку A перпендикулярно к данной прямой.

41. Медианы треугольника с вершинами A (5; 1), B (–7; 4) и C пересекаются в точке G (–2; 3). Напишите уравнение прямой CG и найдите координаты точки C.

42. Выясните взаимное расположение прямой x + y – 3 = 0 и окружности x2 + y2 = 4.

43. Центр окружности расположен в начале координат, ее хорда, лежащая на прямой 4y + 3x – 12 = 0, равна 2. Напишите уравнение этой окружности.

§ 20

44. Может ли длина суммы: а) нескольких ненулевых векторов быть равной сумме длин этих векторов; б) двух ненулевых векторов быть равной длине разности этих векторов?

45. Докажите, что векторы {x1; y1} и {x2; y2} коллинеарны тогда и только тогда, когда x1y2 = x2y1.

46. Векторы + и коллинеарны. Докажите, что векторы и коллинеарны.

47. Медианы треугольника ABC пересекаются в точке M. Докажите, что.

48. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке P. Докажите, что для любой точки M имеет место равенство.

49. Докажите, что для любого вектора справедливо равенство:.

50. Докажите, что если, то точки A и B симметричны относительно точки O.

51. Дан шестиугольник ABCDEF, в котором AB || DE || CF, BC || EF || AD, CD || FA. Используя векторы, докажите, что BE || AF.

52. На сторонах треугольника ABC построены параллелограммы ABB1A2, BCC1B2, ACC2A1. Используя векторы, докажите, что либо существует треугольник, стороны которого равны и параллельны отрезкам A1A2, B1B2, C1C2, либо один из этих отрезков равен сумме двух других.

53. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности.

54. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон произвольного четырехугольника, пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

55. Отрезки AB и CD – хорды окружности с центром O. Прямые AB и CD взаимно перпендикулярны, M — точка их пересечения. Докажите, что.

56. В трапеции ABCD с основаниями AD = 5 и BC = 3 угол A прямой. Найдите.

57. Разность оснований AD и BC равнобедренной трапеции ABCD равна m. Найдите.

58. Докажите, что если.

59. Диагонали прямоугольной трапеции взаимно перпендикулярны. Докажите, что меньшая боковая сторона есть среднее геометрическое оснований.

60. На стороне AB треугольника ABC отмечена точка D, прямая CD перпендикулярна к медиане AM, AD : DB = 3 : 1, AC = 3, угол C = 60º. Найдите BC.

61. Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

62. Отрезок AM — медиана треугольника ABC. Докажите справедливость равенства 4AM2 = 2AB2 + 2AC2 – BC2.

§ 21

63*. Используя параллельный перенос, докажите, что углы при основании равнобедренной трапеции равны.

64*. На стороне AB прямоугольника ABCD построен треугольник ABE. Через точки C и D проведены прямые, перпендикулярные соответственно к прямым EA и EB и пересекающиеся в точке F. Используя параллельный перенос, докажите, что EF перпендикулярна AB.

65*. Даны точки A и B и прямая a, пересекающая отрезок AB, причем прямые a и AB не перпендикулярны. Постройте треугольник ABC, биссектриса угла C которого лежит на прямой a.

66*. Даны параллельные прямые b и c и точка A, не лежащая на них. Используя поворот, постройте равносторонний треугольник ABC так, чтобы точки B и C лежали соответственно на прямых b и c. Сколько решений имеет эта задача?

67*. Докажите, что любое преобразование подобия можно представить как последовательное выполнение центрального подобия и движения.

68*. Докажите, что применительно к треугольникам общее определение подобия фигур (п. 100) равносильно определению, данному в п. 78, т. е. если два треугольника подобны по общему определению, то они подобны и по определению из п. 78, и наоборот.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *