151. Докажите, что точки A, B и C лежат на одной прямой, причем точка B лежит между точками A и C тогда и только тогда, когда для любой точки M имеет место равенство MA2 * BC + MC2 * AB – MB2 * CA = AB * BC * CA.
152. Четырехугольники ABCD, AEFG, ADFH, FIJE и BIJC — параллелограммы. Докажите, что четырехугольник AFHG также является параллелограммом.
153. Докажите, что четыре точки, симметричные произвольной точке относительно середин сторон данного четырехугольника, являются вершинами параллелограмма.
154. Середины отрезков AB и CD, BC и DE соединены отрезками; точки F и G — середины полученных отрезков. Докажите, что отрезки FG и AE либо параллельны, либо лежат на одной прямой, и FG = ¼ AE.
155. Координаты вершин треугольника — рациональные числа. Докажите, что координаты центра описанной около него окружности также являются рациональными числами.
156. Даны точки A и B и положительное число k ≠ 1. Докажите, что: а) множество всех точек M, удовлетворяющих равенству AM = k * BM, есть окружность (окружность Аполлония); б) эта окружность пересекается с любой окружностью, проходящей через точки A и B, так, что их радиусы, проведенные в точку пересечения, взаимно перпендикулярны.
157. Даны точки A и B. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых величина AM2 – BM2 равна заданной величине.
158. Даны точки A и B. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых величина AM2 + BM2 равна заданной величине.
159. Даны точки A и B и прямая a, не перпендикулярная к прямой AB. С помощью циркуля и линейки постройте на прямой a такие точки M1 и M2, в которых отношение AM : BM (M ∈ a) принимает наименьшее и наибольшее значения.
160. Докажите, что если сумма расстояний между серединами противоположных сторон четырехугольника равна его полупериметру, то этот четырехугольник — параллелограмм.
161. В произвольном четырехугольнике ABCD точки M и N — середины диагоналей AC и BD, а точки P и Q — середины сторон AB и CD. Докажите, что существует треугольник, стороны которого равны и параллельны отрезкам AM, BN и PQ.
162. Четырехугольник ABCD — параллелограмм, M — произвольная точка. Докажите, что величина MA2 + MC2 – MB2 – MD2 не зависит от выбора точки M.
163. Найдите расстояние от точки M (x0; y0) до прямой, заданной уравнением ax + by + c = 0.
164. Точка M симметрична точке N стороны BC параллелограмма ABCD относительно точки пересечения диагоналей этого параллелограмма. Докажите, что треугольники AND и CMB равны, а их стороны соответственно параллельны.
165. Внутри параллелограмма ABCD отмечена произвольная точка M. Докажите, что их отрезков, равных MA, MB, MC и MD, можно составить четырехугольник, вписанный в параллелограмм ABCD так, что на каждой стороне параллелограмма будет лежать ровно одна вершина этого четырехугольника.
166. Через общую точку двух данных пересекающихся окружностей проведите (с помощью циркуля и линейки) прямую так, чтобы эти окружности высекали на ней равные хорды.
167. Даны две концентрические окружности. Постройте прямую, на которой эти окружности высекают три равные хорды.
168. Даны три прямые, пересекающиеся в одной точке, и на одной их этих прямых отмечена точка. Постройте треугольник, одной из вершин которого является отмеченная точка, а биссектрисы лежат на данных прямых.
169. Через середины сторон вписанного четырехугольника проведены прямые, перпендикулярные противоположным сторонам. Докажите, что эти прямые имеют общую точку.
170. На сторонах AB, BC и CA остроугольного треугольника ABC взяты точки L, M и N. Докажите, что периметр треугольника LMN будет наименьшим в том случае, когда точки L, M и N — основания высот треугольника ABC, и выразите этот периметр через углы треугольника ABC и радиус R описанной около него окружности.
171. На сторонах треугольника ABC извне построены квадраты ABB1A1, ACC1A2. Докажите, что: а) отрезки A1C и A2B равны и взаимно перпендикулярны; б) центры квадратов и середины отрезков BC и A1A2 являются вершинами квадрата.
172. Точка O — центр правильного многоугольника A1A2…An. Докажите, что .
173. На сторонах остроугольного треугольника ABC извне построены равносторонние треугольники ABC1, BCA1 и CAB1. Докажите, что: а) отрезки AA1, BB1 и CC1 равны, а угол между любыми двумя из них равен 60º; б) три окружности, описанные около равносторонних треугольников, пересекаются в некоторой точке O; в) прямые AA1, BB1 и CC1 также пересекаются в точке O; г) каждая сторона треугольника ABC видна из точки O под углом 120º; д) точка O является той точкой плоскости, для которой сумма расстояний до вершин треугольника ABC принимает наименьшее значение.
174. Даны угол и точка M внутри его. На сторонах угла постройте точки, симметричные друг другу относительно точки M.
175. Даны точки M и N и прямая a, не параллельная прямой MN. Постройте треугольник ABC, в котором эти точки — середины сторон AB и AC, а прямая a содержит либо биссектрису угла B, либо биссектрису внешнего угла при вершине B.
176. Используя центральное подобие, докажите теорему о пересечении высот треугольника.
177. Используя центральное подобие, докажите, что середины оснований трапеции, точка пересечения ее диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.
178. На сторонах треугольника извне построены равносторонние треугольники. Докажите, что их центры являются вершинами равностороннего треугольника, центр которого находится в точке пересечения медиан исходного треугольника (теорема Наполеона).
179. На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC извне построены квадраты с центрами OA, OB и OC. Докажите, что: а) отрезки AOA и OBOC равны и перпендикулярны; б) прямые AOA, BOB и COC пересекаются в одной точке.
180. Окружность касается боковых сторон AB и AC равнобедренного треугольника ABC в точках M и N, а также окружности, описанной около этого треугольника. Докажите, что середина отрезка MN является центром окружности, вписанной в треугольник ABC.
181. Даны угол ABC и точка M внутри его. На стороне BC постройте точку, равноудаленную от прямой AB и точку M.