Задачи повышенной трудности "Векторы и координаты"

151. Докажите, что точки A, B и C лежат на одной прямой, причем точка B лежит между точками A и C тогда и только тогда, когда для любой точки M имеет место равенство MA² * BC + MC² * AB – MB² * CA = AB * BC * CA.

152. Четырехугольники ABCD, AEFG, ADFH, FIJE и BIJC — параллелограммы. Докажите, что четырехугольник AFHG также является параллелограммом.

153. Докажите, что четыре точки, симметричные произвольной точке относительно середин сторон данного четырехугольника, являются вершинами параллелограмма.

154. Середины отрезков AB и CD, BC и DE соединены отрезками; точки F и G — середины полученных отрезков. Докажите, что отрезки FG и AE либо параллельны, либо лежат на одной прямой, и FG = ¼ AE.

155. Координаты вершин треугольника — рациональные числа. Докажите, что координаты центра описанной около него окружности также являются рациональными числами.

156. Даны точки A и B и положительное число k ≠ 1. Докажите, что: а) множество всех точек M, удовлетворяющих равенству AM = k * BM, есть окружность (окружность Аполлония); б) эта окружность пересекается с любой окружностью, проходящей через точки A и B, так, что их радиусы, проведенные в точку пересечения, взаимно перпендикулярны.

157. Даны точки A и B. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых величина AM² – BM² равна заданной величине.

158. Даны точки A и B. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых величина AM² + BM² равна заданной величине.

159. Даны точки A и B и прямая a, не перпендикулярная к прямой AB. С помощью циркуля и линейки постройте на прямой a такие точки M₁ и M₂, в которых отношение AM : BM (M ∈ a) принимает наименьшее и наибольшее значения.

160. Докажите, что если сумма расстояний между серединами противоположных сторон четырехугольника равна его полупериметру, то этот четырехугольник — параллелограмм.

161. В произвольном четырехугольнике ABCD точки M и N — середины диагоналей AC и BD, а точки P и Q — середины сторон AB и CD. Докажите, что существует треугольник, стороны которого равны и параллельны отрезкам AM, BN и PQ.

162. Четырехугольник ABCD — параллелограмм, M — произвольная точка. Докажите, что величина MA² + MC² – MB² – MD² не зависит от выбора точки M.

163. Найдите расстояние от точки M (x₀; y₀) до прямой, заданной уравнением ax + by + c = 0.

164. Точка M симметрична точке N стороны BC параллелограмма ABCD относительно точки пересечения диагоналей этого параллелограмма. Докажите, что треугольники AND и CMB равны, а их стороны соответственно параллельны.

165. Внутри параллелограмма ABCD отмечена произвольная точка M. Докажите, что их отрезков, равных MA, MB, MC и MD, можно составить четырехугольник, вписанный в параллелограмм ABCD так, что на каждой стороне параллелограмма будет лежать ровно одна вершина этого четырехугольника.

166. Через общую точку двух данных пересекающихся окружностей проведите (с помощью циркуля и линейки) прямую так, чтобы эти окружности высекали на ней равные хорды.

167. Даны две концентрические окружности. Постройте прямую, на которой эти окружности высекают три равные хорды.

168. Даны три прямые, пересекающиеся в одной точке, и на одной их этих прямых отмечена точка. Постройте треугольник, одной из вершин которого является отмеченная точка, а биссектрисы лежат на данных прямых.

169. Через середины сторон вписанного четырехугольника проведены прямые, перпендикулярные противоположным сторонам. Докажите, что эти прямые имеют общую точку.

170. На сторонах AB, BC и CA остроугольного треугольника ABC взяты точки L, M и N. Докажите, что периметр треугольника LMN будет наименьшим в том случае, когда точки L, M и N — основания высот треугольника ABC, и выразите этот периметр через углы треугольника ABC и радиус R описанной около него окружности.

171. На сторонах треугольника ABC извне построены квадраты ABB₁A₁, ACC₁A₂. Докажите, что: а) отрезки A₁C и A₂B равны и взаимно перпендикулярны; б) центры квадратов и середины отрезков BC и A₁A₂ являются вершинами квадрата.

172. Точка O — центр правильного многоугольника A₁A₂…A_n. Докажите, что .

173. На сторонах остроугольного треугольника ABC извне построены равносторонние треугольники ABC₁, BCA₁ и CAB₁. Докажите, что: а) отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ равны, а угол между любыми двумя из них равен 60º; б) три окружности, описанные около равносторонних треугольников, пересекаются в некоторой точке O; в) прямые AA₁, BB₁ и CC₁ также пересекаются в точке O; г) каждая сторона треугольника ABC видна из точки O под углом 120º; д) точка O является той точкой плоскости, для которой сумма расстояний до вершин треугольника ABC принимает наименьшее значение.

174. Даны угол и точка M внутри его. На сторонах угла постройте точки, симметричные друг другу относительно точки M.

175. Даны точки M и N и прямая a, не параллельная прямой MN. Постройте треугольник ABC, в котором эти точки — середины сторон AB и AC, а прямая a содержит либо биссектрису угла B, либо биссектрису внешнего угла при вершине B.

176. Используя центральное подобие, докажите теорему о пересечении высот треугольника.

177. Используя центральное подобие, докажите, что середины оснований трапеции, точка пересечения ее диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

178. На сторонах треугольника извне построены равносторонние треугольники. Докажите, что их центры являются вершинами равностороннего треугольника, центр которого находится в точке пересечения медиан исходного треугольника (теорема Наполеона).

179. На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC извне построены квадраты с центрами O_A, O_B и O_C. Докажите, что: а) отрезки AO_A и O_BO_C равны и перпендикулярны; б) прямые AO_A, BO_B и CO_C пересекаются в одной точке.

180. Окружность касается боковых сторон AB и AC равнобедренного треугольника ABC в точках M и N, а также окружности, описанной около этого треугольника. Докажите, что середина отрезка MN является центром окружности, вписанной в треугольник ABC.

181. Даны угол ABC и точка M внутри его. На стороне BC постройте точку, равноудаленную от прямой AB и точку M.