sin2 A + cos2 A = 1,
и с его помощью доказана одна из важнейших теорем геометрии – теорема Пифагора:
- в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (рис. 25),
а затем теорема обратная теореме Пифагора:
- если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то этот треугольник – прямоугольный.
Далее синус и косинус были определены для углов от 90º до 180º. В основе этого определения лежат формулы
sin α = 2 sin (α/2) * cos (α/2), (1)
cos α = 2cos2 (α/2) – 1. (2)
Для углов α из промежутка 0º < α < 90º справедливость равенств (1) и (2) была доказана, а для любого угла α из промежутка 90º ≤ α ≤ 180º формулы (1) и (2) применяются в качестве определения синуса и косинуса этого угла, т. е.
- синусом угла α из промежутка 90º ≤ α ≤ 180º называется число 2 sin (α/2) * cos (α/2);
- косинусом угла α из промежутка 90º ≤ α ≤ 180º называется число 2cos2 (α/2) – 1.
Кроме того, мы полагаем по определению, что sin 0º = 0, cos 0º = 1.
Из наших определений следует, что основное тригонометрическое тождество sin2 α + cos2 α = 1 справедливо для любого α из промежутка 0º ≤ α ≤ 180º.
Напомним также следующие формулы (они называются формулами приведения):
sin (90º – α) = cos α, cos (90º – α) = sin α, (3)
sin (180º – α) = sin α, cos (180º – α) = –cos α. (4)
Формулы (3) справедливы для любого α из промежутка 0º ≤ α ≤ 90º, а формулы (4) – для любого α из промежутка 0º ≤ α ≤ 180º.
С помощью синуса и косинуса мы определили еще две тригонометрические функции — тангенс и котангенс:
tg α = sin α / cos α (0º ≤ α ≤ 180º, α ≠ 90º),
ctg α = cos α / sin α (0º < α < 180º).
Центральное место в шестой главе занимают теоремы синусов и косинусов. Предварительно была доказана теорема:
- сторона треугольника равна произведению диаметра описанной окружности на синус противолежащего угла (рис. 26).
Из этой теоремы непосредственно следует теорема синусов:
- стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов (рис. 27).
Теорема косинусов:
- квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов других сторон минус удвоенное произведение этих сторон умноженное на косинус угла между ними (рис. 28).
Из теоремы косинусов выведено следствие:
- если косинусы двух углов равны, то равны и сами углы.
С помощью теоремы синусов была доказана теорема о биссектрисе треугольника:
- биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные двум другим сторонам (рис. 29).
Последний параграф шестой главы посвящен важной теме – подобию треугольников.
Напомним определение подобных треугольников: два треугольника называются подобными, если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника (рис. 30).
Сначала была доказана теорема об углах подобных треугольников:
- если два треугольника подобны, то углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника,
а затем – две теоремы о признаках подобия треугольников:
- если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны (первый признак, рис. 31);
- если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны (второй признак, рис. 32).
С помощью второго признака подобия треугольников были доказаны две теоремы:
- если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды (теорема об отрезках пересекающихся хорд, рис. 33);
- если через точку М проведены касательная МК, где К – точка касания, и секущая, пересекающая окружность в точках А и В, то МК2 = МА * МВ (теорема о квадрате касательной, рис. 34).
Все, что мы изучили в 7 и 8 классах, понадобится нам для дальнейшего изучения свойств геометрических фигур на плоскости и в пространстве.