Введение к учебнику геометрии, 9 класс

sin2 A + cos2 A = 1,

и с его помощью доказана одна из важнейших теорем геометрии – теорема Пифагора:

  • в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (рис. 25),

а затем теорема обратная теореме Пифагора:

  • если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то этот треугольник – прямоугольный.

Далее синус и косинус были определены для углов от 90º до 180º. В основе этого определения лежат формулы

sin α = 2 sin (α/2) * cos (α/2), (1)
cos α = 2cos2 (α/2) – 1. (2)

Для углов α из промежутка 0º < α < 90º справедливость равенств (1) и (2) была доказана, а для любого угла α из промежутка 90º ≤ α ≤ 180º формулы (1) и (2) применяются в качестве определения синуса и косинуса этого угла, т. е.

  • синусом угла α из промежутка 90º ≤ α ≤ 180º называется число 2 sin (α/2) * cos (α/2);
  • косинусом угла α из промежутка 90º ≤ α ≤ 180º называется число 2cos2 (α/2) – 1.

Кроме того, мы полагаем по определению, что sin 0º = 0, cos 0º = 1.

Из наших определений следует, что основное тригонометрическое тождество sin2 α + cos2 α = 1 справедливо для любого α из промежутка 0º ≤ α ≤ 180º.
Напомним также следующие формулы (они называются формулами приведения):

sin (90º – α) = cos α, cos (90º – α) = sin α, (3)
sin (180º – α) = sin α, cos (180º – α) = –cos α. (4)

Формулы (3) справедливы для любого α из промежутка 0º ≤ α ≤ 90º, а формулы (4) – для любого α из промежутка 0º ≤ α ≤ 180º.

С помощью синуса и косинуса мы определили еще две тригонометрические функции — тангенс и котангенс:

tg α = sin α / cos α (0º ≤ α ≤ 180º, α ≠ 90º),
ctg α = cos α / sin α (0º < α < 180º).

Центральное место в шестой главе занимают теоремы синусов и косинусов. Предварительно была доказана теорема:

  • сторона треугольника равна произведению диаметра описанной окружности на синус противолежащего угла (рис. 26).

Из этой теоремы непосредственно следует теорема синусов:

  • стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов (рис. 27).

Теорема косинусов:

  • квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов других сторон минус удвоенное произведение этих сторон умноженное на косинус угла между ними (рис. 28).

Из теоремы косинусов выведено следствие:

  • если косинусы двух углов равны, то равны и сами углы.

С помощью теоремы синусов была доказана теорема о биссектрисе треугольника:

  • биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные двум другим сторонам (рис. 29).

Последний параграф шестой главы посвящен важной теме – подобию треугольников.

Напомним определение подобных треугольников: два треугольника называются подобными, если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника (рис. 30).

Сначала была доказана теорема об углах подобных треугольников:

  • если два треугольника подобны, то углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника,

а затем – две теоремы о признаках подобия треугольников:

  • если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны (первый признак, рис. 31);
  • если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны (второй признак, рис. 32).

С помощью второго признака подобия треугольников были доказаны две теоремы:

  • если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды (теорема об отрезках пересекающихся хорд, рис. 33);
  • если через точку М проведены касательная МК, где К – точка касания, и секущая, пересекающая окружность в точках А и В, то МК2 = МА * МВ (теорема о квадрате касательной, рис. 34).

Все, что мы изучили в 7 и 8 классах, понадобится нам для дальнейшего изучения свойств геометрических фигур на плоскости и в пространстве.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *