Длина окружности

Pn = 2n * 2R sin (180º/2n), Pn‘ = 2n * 2R’ sin (180º/2n).

Следовательно, при любом n

Pn/Pn‘ = 2R / 2R’. (7)

Будем теперь неограниченно увеличивать число n. Так как Pn → C, Pn‘ → C’ при n → ∞. Поэтому, согласно равенству (7), C/C’ = (2R) / (2R’), или C/(2R) = C’/(2R’), т. е.

  • отношение длины окружности к ее диаметру — одно и то же число для всех окружностей.

Немецкий математик И. Г. Ламберт (1728 — 1777) и французский математик А. М. Лежандр (1752 — 1833) доказали (см. [8]), что это число приближенно равное 3,14 (более точное значение равно 3,1415927), является иррациональным. Его обозначают греческой буквой π (читается «пи») — первой буквой слова περιφερεια (окружность).

Из равенства C/(2R) = π получаем формулу для вычисления длины окружности радиуса R:

С = 2πR.

Выведем теперь формулу длины l дуги окружности с градусной мерой α градусов. Поскольку длина всей окружности равна 2πR, то длина дуги в 1º равна (2πR)/360 = (πR)/180. Следовательно, длина l выражается формулой

l = ((πR) / 180) * α.

Замечание. Периметр Qn правильного 2n-угольника, описанного около окружности радиуса R, связан с периметром Pn правильного вписанного в эту окружность 2n-угольника равенством вида (4):

Pn = Qn cos (180º / 2n).

Если n → ∞, то Pn → 2πR, а cos (180º/2n) → 1 (см. с. 123, 124). Из этого следует, что Qn → 2πR пр n → ∞. Таким образом, предел, к которому стремится периметр правильного описанного около окружности 2n-угольника при неограниченном увеличении числа n, также равен длине окружности.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *