Теорема синусов

BC = BD * sin D = 2R * sin D.

Если точка D лежит на дуге BAC (рис. 100, б), то ∠D = ∠A (вписанные углы D и A опираются на одну и ту же дугу BC).

Если точка D не лежит на дуге BAC (рис. 100, в), то ∠D = 180º – ∠A (сумма противоположных углов D и A вписанного четырехугольника ABCD равна 180º).

И в том и в другом случае sin D = sin A. Таким образом, BC = 2R * sin A. Теорема доказана.

Важным следствием из доказанной теоремы является утверждение, называемое теоремой синусов.

Теорема. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Доказательство. Пусть радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен R. Тогда каждое из отношений BC/sin A, CA/sin B, AB/sin C равно 2R. Следовательно,

BC/sin A = CA/sin B = AB/sin C.

Теорема доказана.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *