Свойство углов подобных треугольников

A1B1 = kAB, B1C1 = kBC, C1A1 = kCA, (1)

где k — некоторое положительное число. Число k называется коэффициентом подобия треугольников A1B1C1 и ABC (точнее, коэффициентом подобия треугольника A1B1C1 относительно треугольника ABC). Подобие треугольников A1B1C1 и ABC обозначают так: ∆A1B1C1 ~ ∆ABC.

Отметим, что если k = 1, то треугольники A1B1C1 и ABC равны по трем сторонам. Поэтому равенство треугольников является частным случаем их подобия.

Докажем теорему об углах подобных треугольников.

Теорема. Если два треугольника подобны, то углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника.

Доказательство. Пусть треугольники A1B1C1 и ABC подобны, т. е. их стороны связаны равенствами (1). Докажем, что ∠A1 = ∠A, ∠B1 = ∠B и ∠C1 = ∠C (рис. 107).

Рассмотрим сначала треугольник A1B1C1. По теореме косинусов

B1C12 = A1B12 + C1A12 – 2A1B1 * C1A1 * cos A1.

Подставляя сюда выражения сторон треугольника A1B1C1 по формулам (1) и сокращая на k2, получаем
BC2 = AB2 + CA2 – 2AB * CA * cos A1.
Рассмотрим теперь треугольник ABC. По теореме косинусов

BC2 = AB2 + CA2 – 2AB * CA * cos A.

Сопоставляя полученные равенства, приходим к выводу: cos A1 = cos A и, следовательно, ∠A1 = ∠A (см. п. 74).
Справедливость равенств ∠B1 = ∠B и ∠C1 = ∠C доказываются аналогично. Теорема доказана.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *