Исследовательские задачи по геометрии

1. Придумайте такое условие параллельности двух данных прямых, которое является: а) необходимым, но недостаточным; б) достаточным, но не необходимым.
2. Исследуйте, при каком условии задача о построении треугольника. а) по трем медианам; б) по трем высотам имеет решение.
3. Постройте треугольник по углу A и сторонам AC и BC и исследуйте, при каком условии задача: а) имеет решение; б) имеет единственное решение; в) имеет два решения; г) не имеет решений.
4. Исследуйте, сколько различных точек может быть среди тех 9 точек, через которые проходит окружность Эйлера.
5. Выведите формулу стороны равностороннего треугольника в теореме Морли (см. задачу 280 на с. 132).

Темы рефератов и докладов

1. Вневписанные окружности.
2. Аксиома параллельных прямых и эквивалентные ей утверждения.
3. Чем геометрия Лобачевского отличаемся от геометрии Евклида.
4. Биография Н. И. Лобачевского.
5. Симметрия и орнаменты.
6. Симметрия в природе и в архитектуре. Прямая и окружность Эйлера.
7. Признаки равенства треугольника по: а) трем медианам; б) трем высотам; в) трем биссектрисам.
8. Золотое сечение в природе, архитектуре и живописи.
9. Нестандартные признаки подобия треугольников.
10. Построения одним циркулем.
11. Прямая и обратная теоремы, необходимость и достаточность.
12. Методы решения задач на построения (метод ГМТ, метод подобия).
13. Теорема Чевы и следствия из нее: теоремы о точках пересечения медиан, биссектрис, высот.