Признаки параллельности двух прямых

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Параллельность прямых AB и CD, a и b (отрезков MN и PQ) обозначается так: AB || CD, a || b (MN || PQ).

Рассмотрим прямые a и b, а также прямую c, пересекающую их в двух точках (рис. 10). Прямую c назовем секущей по отношению к прямым a и b. Углы 1 и 3, а также 2 и 4 назовем накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых a и b секущей c.

Теорема

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых a и b секущей AB накрест лежащие углы 1 и 2 равны (рис. 11, а). Докажем, что прямые a и b параллельны.

Если предположить, что прямые a и b пересекаются в некоторой точке C (рис. 11, б), то получится треугольник ABC, внешний угол которого (угол 1 на рисунке 11, б) равен углу этого треугольника, не смежному с ним. Но этого быть не может. Следовательно, прямые a и b параллельны. Теорема доказана.

При пересечении двух прямых секущей наряду с накрест лежащими углами образуются и другие углы (рис. 12). Назовем углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 соответственными, а углы 4 и 5, 3 и 6 односторонними. Из доказанной теоремы вытекают два следствия.

Следствие 1

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то эти прямые параллельны.

Пусть соответственные углы 1 и 2 равны (рис. 13): ∠1 = ∠2. Так как вертикальные углы 2 и 3 равны, то ∠1 = ∠3, т. е. равны накрест лежащие углы 1 и 3. Следовательно, a || b.

Следствие 2

Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180º, то эти прямые параллельны.

Пусть сумма односторонних углов равна 180º (рис. 14): ∠1 + ∠2 = 180º.

Сумма смежных углов 3 и 2 также равна 180º:

∠3 + ∠2 = 180º.

Из этих двух равенств получаем ∠1 = ∠3, т. е. равны накрест лежащие углы 1 и 3.

Следовательно, a || b.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *