Решение треугольников

BC2 = AB2 + AC2 – 2AB * AC * cos A = 25 + 49 – 70 cos 35º.

По таблицам (или с помощью калькулятора) находим приближенное значение косинуса угла в 35º: cos 35º ≈ 0,81915, после чего вычисляем приближенное значение стороны BC: BC ≈ 4,0816. Далее, с помощью теоремы косинусов найдем cos B:

cos B = (AB2 + BC2 – AC2) / (2AB * BC) ≈ –0,17985.

Зная значение cos B, по таблицам находим угол B: ∠B ≈ 100º22′. И наконец, угол C находим с помощью теоремы о сумме углов треугольника: ∠C = 180º – ∠A – ∠B ≈ 44º38′.

Теоремы синусов и косинусов могут использоваться и при доказательстве некоторых теорем, например при доказательстве теоремы о биссектрисе треугольника.

Теорема. Биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные двум другим сторонам.

Доказательство. Пусть AD — биссектриса треугольника ABC (рис. 103). Докажем, что DB/AB = DC/AC.

Применяя теорему синусов к треугольнику ABD, приходим к равенству DB/sin ∠1 = AB/sin ∠3, откуда DB/AB = sin ∠1 / sin ∠3.

Аналогично, рассматривая треугольник ACD, получаем:

DC/AC = sin ∠2 / sin ∠4.

Но ∠2 = ∠1 по условию, ∠4 = 180º – ∠3, поэтому sin ∠2 = sin ∠1 и sin ∠4 = sin ∠3. Следовательно, DB/AB = DC/AC. Теорема доказана.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *