Вписанный угол

Теорема. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Доказательство. Рассмотрим вписанный угол ABC, опирающийся на дугу AC окружности (рис. 147, а), и докажем, что.

Проведем через точку B касательную PQ к окружности (рис. 147, б). Лучи BA и BC делят развернутый угол PBQ на три угла: ∠PBA, ∠ABC и ∠CBQ. Угол PBA (угол между касательной PQ и хордой AB) равен. Аналогично. Следовательно,

Теорема доказана.

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 148).
2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой (рис. 149).

Отметим также, что

если диаметром окружности является гипотенуза прямоугольного треугольника, то вершина прямого угла треугольника лежит на этой окружности.

В самом деле, середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от его вершины (см. п. 24), поэтому если диаметром окружности является гипотенуза (рис. 150), то окружность проходит через все вершины треугольника и, следовательно, вершина прямого угла лежит на этой окружности.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *