Сокращение дроби

ab1 = a1b.

Произведение ab1 делится на a; значит, и произведение a1b тоже делится на a, но b, по условию, есть число, взаимно простое с a; значит, надо, чтобы a1 делилось на a (§ 88). Обозначив частное от деления a1 на a буквой m, можем положить: a1 = am, после чего последнее равенство дает:

ab1 = amb.

Разделив обе части этого равенства на a, получим:

b1 = mb.

Итак, оказывается, что a1 = am и b1 = bm, что и требовалось доказать.

Следствие 1. Две несократимые дроби равны только тогда, когда у них равны числители и равны знаменатели.

Следствие 2. Всякая дробь равна одной и только одной несократимой дроби. В самом деле, второй способ сокращения (§ 130) показывает, что всякая дробь равна некоторой несократимой дроби; если бы она равнялась двум таким дробям, то эти две несократимые дроби были бы равны друг другу, что невозможно в силу следствия 1. Значит, данная дробь действительно равна только одной несократимой дроби.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *