(a + b + c +…)m = am + bm + cm +…
(распределительный закон умножения относительно сложения) остается верным и тогда, когда буквы означают дробные числа. Рассмотрим три случая.
1) Предположим сначала, что множитель m есть число целое, например m = 3 (a, b, c – какие угодно числа). Согласно определению умножения на целое число можно написать (ограничиваясь для простоты тремя слагаемыми):
(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).
На основании сочетательного закона сложения мы можем в правой части опустить все скобки; применяя же переместительный закон сложения, а потом снова сочетательный, мы можем, очевидно, переписать правую часть так:
(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).
Тогда получим:
(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.
Значит, распределительный закон в этом случае подтверждается.