c + b = a.
Например:
5 — (+7) = -2, так как (-2) + (+7) = +5;
(-3) — (+8) = -11, так как (-11) + (+8) = -3;
(-1) — (-5) = +4, так как (+4) + (-5) = -1.
Чтобы вывести общее правило вычитания для любых рациональных чисел, поступим следующим образом. Заменим в предыдущих примерах вычитание прибавлением числа, противоположного вычитаемому. Получим:
5 + (-7) = -2;
(-3) + (-8) = -11;
(-1) + (+5) = +4.
Как видим, мы получили те же результаты, что и при вычитании. Следовательно, можно ввести правило:
Чтобы из одного числа вычесть другое, достаточно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому:
a – b = a + (-b).
Докажем это правило.
Нам надо доказать справедливость равенства
a – b = a + (-b) (1)
при любых a и b.
Если выражение a + (-b) в правой части является разностью чисел a и b, то, сложив его с вычитаемым b, мы должны получить уменьшаемое a.
Проверим это; сложив a + (-b) и b, получим:
[a + (-b)] + (+b).
По сочетательному закону сложения это выражение запишем так:
[a + (-b)] + (+b) = a + [(-b) + (+b)] = a + 0 = a.
Получили уменьшаемое. Значит равенство (1) верно.
Приведенное правило заменяет вычитание сложением, а правило сложения нам уже известно.
Итак, оказалось, что вычитание одного рационального числа из другого можно заменить сложением двух рациональных чисел. Но сложение двух рациональных чисел всегда возможно и дает единственный результат (§ 12). Значит, мы можем заключить, что в множестве рациональных чисел вычитание всегда возможно и дает единственный результат (как говорят, однозначно).
В арифметике, где действия выполнялись лишь над положительными числами, вычитание было не всегда возможно (например, из 5 нельзя вычесть 6), а теперь, когда мы ввели отрицательные числа, вычитание в множестве рациональных чисел стало всегда возможным.
Известные из арифметики свойства вычитания остаются в силе для любых рациональных чисел. Напомним эти свойства.
1. Прибавление разности.
Чтобы прибавить разность, можно прибавить уменьшаемое и от результата отнять вычитаемое.
Например:
(-7) + [(+3) — (-10)] = (-7) + (+13) = 6,
[(-7) + (+3)] — (-10) = (-4) — (-10) = (-4) + (+10) = 6.
Значит,
(-7) + [(+3) — (-10)] = [(-7) + (+3)] — (-10).
В общем виде это свойство можно записать так:
a + (b – c) = (a + b) – c.
2. Вычитание суммы.
Чтобы вычесть сумму нескольких чисел, можно вычесть первое слагаемое, из результата вычесть второе и так далее до конца.
Пример.
(-7) — [(-3) + (+8)] = (-7) — (+5) = -12,
[(-7) — (-3)] — (+8) = (-4) + (-8) = -12.
3. Вычитание разности.
Чтобы вычесть разность, можно вычесть уменьшаемое и к результату прибавить вычитаемое.
Пример.
(-8) — [(-6) — (+3)] = (-8) — (-9) = 1
и
[(-8) — (-6)] + (+3) = (-2) + (+3) = 1.
В общем виде:
a – (b – c) = (a – b) + c.