a2 – b2 = (a + b)(a – b).
В левой части этого равенства двучлен, в правой же он представлен в виде произведения, то есть разложен на множители.
Значит, разность квадратов двух чисел можно представить в виде произведения суммы этих чисел на их разность.
Пример. 16a4b2 – 9x6 = (4a2b + 3x3)(4a2b – 3x3).
Возьмем теперь формулу:
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2.
Значит, если данный трехчлен представляет собой сумму двух квадратов, сложенную с удвоенным произведением их оснований, то его можно представить в виде квадрата суммы (то есть в виде произведения двух одинаковых множителей).
Примеры.
- x2 + 12x + 36 = (x + 6)2.
- 4a2b2 + 20abc2 + 25c4 = (2ab + 5c2)2.
Точно так же применяется формула:
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2.
Примеры.
- 16m2 – 8m + 1 = (4m – 1)2.
- Вычислите выражение
a2 – 14a + 49 при a = 47.
Вычисления выполняются в уме, если выражение разложить на множители:
a2 – 14a + 49 = (a – 7)2.
Подставив в правую часть a = 47, сразу получаем:
(47 – 7)2 = 402 = 1600.
Также применяются формулы:
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3.
a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3.
Пример.
Вычислить выражение
a = x3 + 9x2 + 27x + 27 при x = 17.
Разложив данный многочлен на множители, получим:
x3 + 9x2 + 27x + 27 = (x + 3)3.
Подставив x = 17, найдем: a = 203 = 8000.
Кроме перечисленных выше формул сокращенного умножения, применяются еще формулы, позволяющие разложить на множители сумму или разность кубов двух чисел.
Рассмотрим трехчлен a2 – ab + b2, который называется неполным квадратом разности чисел a и b. Умножим его на a + b:
Отсюда имеем:
(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3. (1)
Произведение суммы двух чисел на неполный квадрат их разности равно сумме кубов этих чисел.
Эту формулу можно читать справа налево так:
Сумма кубов двух чисел равна сумме этих чисел, умноженной на неполный квадрат их разности:
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) (2)
Это и есть формула разложения на множители суммы кубов двух чисел.
Умножим трехчлен a2 + ab + b2, который называется неполным квадратом суммы чисел a и b, на a – b:
Отсюда имеем:
(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3. (3)
Эту формулу можно читать и справа налево:
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) (4)
Формулы (3) и (4) читаются так:
Произведение разности двух чисел на неполный квадрат их суммы равно разности кубов этих чисел.
Разность кубов двух чисел равна разности этих чисел, умноженной на неполный квадрат их суммы.
Примеры.
- 27a3b3 + 8c3 = (3ab + 2c)(9a2b2 – 6abc + 4c2).
- 64a6b3 – 1 = (4a2b – 1)(16a4b2 + 4a2b + 1).