Исследование корней квадратного уравнения

x2 + px + q = 0 (p ≠ 0 и q ≠ 0).

Тогда, рассматривая коэффициенты этого уравнения, можно получить еще некоторые сведения относительно его корней, не решая самого уравнения.

Рассмотрим различные случаи.

1) Пусть q < 0. Тогда прежде всего заключаем, что уравнение имеет корни. В самом деле, в этом случае всегда

Итак, мы пришли к важному выводу: если в приведенном квадратном уравнении свободный член отрицателен, то уравнение имеет корни.
Далее, по теореме Виета имеем:

x1 + x2 = –p, (1)
x1 * x2 = q. (2)

Из условия q < 0 заключаем, что произведение корней x1 * x2 отрицательно, а это означает, что корни имеют противоположные знаки: один из них положителен, другой отрицателен.

Пример 1.

x2 – 11x – 26 = 0.

p = –26 < 0, значит, уравнение имеет корни, и они имеют противоположные знаки.

Решив уравнение, найдем его корни:

x1 = 13; x2 = –2.

2) Пусть q > 0. Тогда из (2) заключаем, что если уравнение имеет корни, то есть если D ≥ 0, то произведение их x1x2 положительно, а это означает, что корни имеют одинаковые знаки.

Поставим вопрос: какие именно? Ответ получим из соотношения (1).

а) Пусть p > 0. Тогда сумма x1 + x2 отрицательна, и, значит, оба корня отрицательны.

б) Пусть p < 0. Тогда сумма x1 + x2 положительна, и, значит, оба корня положительны.

Пример 2.

x2 – 10 + 22 = 0

D = 102 – 4 * 22 = 12 > 0. Уравнение имеет корни, и они имеют одинаковые знаки, так как x1 * x2 = 22 > 0.

Сумма корней равна 10. Значит, оба они положительны. Решив уравнение, найдем: x1 = 5 + √3; x2 = 5 – √3.
Возьмем √3 ≈ 1,73, тогда x1 ≈ 6,73 > 0 и x2 ≈ 3,27 > 0.

3. Исследование корней уравнения общего вида. Перейдем к уравнению вида

ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).

Разделив обе части этого уравнения на a, получим равносильное ему уравнение, но уже приведенное:

.

Здесь.

Но так как по условию a > 0, то знаки чисел p и q совпадают соответственно со знаками b и c.

А отсюда следует, что все выводы, которые были сделаны выше для приведенного уравнения, остаются в силе и для уравнения общего вида. Во всех выводах нужно только буквы p и q заменить буквами b и c.

Пример 3.

3x2 + 10x + 2 = 0.

Так как D = 102 – 4 * 3 * 2 = 76 > 0, то уравнение имеет два различных корня; c = 2 > 0, а поэтому корни имеют одинаковые знаки; –b = –10 < 0, значит, оба корня отрицательны.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *