Исследование корней квадратного уравнения

x² + px + q = 0 (p ≠ 0 и q ≠ 0).

Тогда, рассматривая коэффициенты этого уравнения, можно получить еще некоторые сведения относительно его корней, не решая самого уравнения.

Рассмотрим различные случаи.

1) Пусть q < 0. Тогда прежде всего заключаем, что уравнение имеет корни. В самом деле, в этом случае всегда

Итак, мы пришли к важному выводу: если в приведенном квадратном уравнении свободный член отрицателен, то уравнение имеет корни.
Далее, по теореме Виета имеем:

x₁ + x₂ = –p, (1)
x₁ * x₂ = q. (2)

Из условия q < 0 заключаем, что произведение корней x₁ * x₂ отрицательно, а это означает, что корни имеют противоположные знаки: один из них положителен, другой отрицателен.

Пример 1.

x² – 11x – 26 = 0.

p = –26 < 0, значит, уравнение имеет корни, и они имеют противоположные знаки.

Решив уравнение, найдем его корни:

x₁ = 13; x₂ = –2.

2) Пусть q > 0. Тогда из (2) заключаем, что если уравнение имеет корни, то есть если D ≥ 0, то произведение их x₁x₂ положительно, а это означает, что корни имеют одинаковые знаки.

Поставим вопрос: какие именно? Ответ получим из соотношения (1).

а) Пусть p > 0. Тогда сумма x₁ + x₂ отрицательна, и, значит, оба корня отрицательны.

б) Пусть p < 0. Тогда сумма x₁ + x₂ положительна, и, значит, оба корня положительны.

Пример 2.

x² – 10 + 22 = 0

D = 10² – 4 * 22 = 12 > 0. Уравнение имеет корни, и они имеют одинаковые знаки, так как x₁ * x₂ = 22 > 0.

Сумма корней равна 10. Значит, оба они положительны. Решив уравнение, найдем: x₁ = 5 + √3; x₂ = 5 – √3.
Возьмем √3 ≈ 1,73, тогда x₁ ≈ 6,73 > 0 и x₂ ≈ 3,27 > 0.

3. Исследование корней уравнения общего вида. Перейдем к уравнению вида

ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0).

Разделив обе части этого уравнения на a, получим равносильное ему уравнение, но уже приведенное:

.

Здесь.

Но так как по условию a > 0, то знаки чисел p и q совпадают соответственно со знаками b и c.

А отсюда следует, что все выводы, которые были сделаны выше для приведенного уравнения, остаются в силе и для уравнения общего вида. Во всех выводах нужно только буквы p и q заменить буквами b и c.

Пример 3.

3x² + 10x + 2 = 0.

Так как D = 10² – 4 * 3 * 2 = 76 > 0, то уравнение имеет два различных корня; c = 2 > 0, а поэтому корни имеют одинаковые знаки; –b = –10 < 0, значит, оба корня отрицательны.