,
где m может быть любым числом — целым и дробным, положительным и отрицательным, но не равным нулю.
Для алгебраической дроби основное свойство формулируется так:
Если числитель и знаменатель алгебраической дроби умножить на один и тот же многочлен, то получится дробь, тождественно равная данной.
Поясним это следующим примером. Рассмотрим дробь
. (1)
Умножим ее числитель и знаменатель на двучлен x – 2, тогда получим следующую дробь:
. (2)
Мы считаем допустимыми лишь те значения x, при которых знаменатель данной дроби (1), а также многочлен, на который умножают ее числитель и знаменатель, не равны нулю. Но от умножения числителя и знаменателя дроби (1) на число, не равное нулю, ее значение не меняется. Итак, при любых допустимых значениях x дроби (1) и (2) имеют одно и то же значение, то есть эти дроби тождественны:
Или, выполнив умножение в числителе и знаменателе второй дроби, получим:
Примечание. В нашем примере допустимыми являются все значения x, кроме числе 2 и 3: при x = 3 обращается в нуль знаменатель данной дроби (1), а при x = 2 обращается в нуль множитель, на который умножаются ее числитель и знаменатель.
Сокращение дробей. Перепишем последнее равенство в обратном порядке, переставив между собой его правую и левую части:
Мы преобразовали дробь в более простую дробь, разделив числитель и знаменатель на общий множитель x – 2.
Если числитель и знаменатель алгебраической дроби разделить на один и тот же многочлен, то получится дробь, тождественно равная данной.
Этим свойством пользуются для упрощения дроби: если числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель, то, разделив на него числитель и знаменатель, приведем дробь к более простому виду.
Такое преобразование называется сокращением дроби.
Примеры.
Чтобы сократить алгебраическую дробь, надо предварительно разложить числитель и знаменатель на множители (если это возможно) и после этого произвести возможные сокращения.
Пример.