ax2 + bx + c, (1)
где коэффициенты a, b и c являются некоторыми определенными числами, причем a ≠ 0 (заметим, что теперь a может быть и отрицательным), а x может принимать различные значения. В зависимости от значения x трехчлен может принимать различные значения. Букву x будем называть главной буквой или аргументом.
Пример. Обозначим через y трехчлен.
y = x2 – 3x + 2. (2)
Будем давать x произвольные значения. Соответствующие значения трехчлена x2 – 3x + 2, или, что то же самое, значения y, даны в следующей таблице:
Из этой таблице видим, что при x = 1 и при x = 2 значения трехчлена становится равны нулю.
Определение. Те значения аргумента, при которых значение трехчлена равно нулю, называются корнями этого трехчлена.
Так, 1 и 2 являются корнями трехчлена (2).
Чтобы найти корни трехчлена (1), надо вычислить те значения x, при которых он обращается в нуль, то есть те значения x, при которых
ax2 + bx + c = 0. (3)
Значит, корни трехчлена (1) мы найдем, решив уравнение (3). Но мы знаем, что это уравнение в зависимости от величины его дискриминанта b2 – 4ac может иметь два (различных или равных) корня либо не иметь корней.
Значит, то же можно сказать и о трехчлене (1). Он а) имеет два корня (различных или равных), если b2 – 4ac ≥ 0, б) не имеет корней, если b2 – 4ac < 0.
Дискриминант уравнения (3) называется также дискриминантом и трехчлена (1).
2. Разложение на множители трехчлена вида
x2 + px + q.
Допустим, что трехчлен
y = x2 + px + q
имеет два корня: x1 и x2. Тогда числа x1 и x2 являются корнями уравнения
x2 + px + q = 0.
Но по теореме Виета будем иметь:
x1 + x2 = –p; x1 * x2 = q.
Значит,
p = –(x1 + x2), q = x1 * x2.
Подставим значения p и q в данный трехчлен и преобразуем полученное выражение:
y = x2 – (x1 + x2)x + x1 * x2 = x2 – x1x – x2x + x1 * x2 =
= x(x – x1) – x2(x – x1) = (x – x1)(x – x2).
Итак, мы получили:
x2 + px + q = (x – x1)(x – x2).
Таким образом, если трехчлен вида у = x2 + px + q имеет корни, то он может быть представлен в виде произведения двух сомножителей: один из них является разностью между аргументом и одним корнем, а другой — разностью между аргументом и другим корнем.
Пример.
y = x2 – 6x + 8.
Решив уравнение
x2 – 6x + 8 = 0,
найдем корни трехчлена: x1 = 2, x2 = 4. Тогда
x2 – 6x + 8 = (x – 2)(x – 4).
3. Разложение трехчлена ax2 + bx + c. Возьмем теперь трехчлен (1)
y = ax2 + bx + c,
где a ≠ 0. Пусть корни уравнения (3)
ax2 + bx + c = 0
будут x1 и x2.
Вынеся в данном трехчлене a за скобки, мы получим:
(4)
Но так как x1 и x2 — корни уравнения (3), или, что то же, уравнения (приведенного), то по предыдущему:
Подстановка в (4) дает:
ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2).
Трехчлен ax2 + bx + c, имеющий корни, можно представить в виде произведения трех сомножителей: один равен коэффициенту при x2, а два других — разности между аргументом и корнями трехчлена:
Пример 1.
y = 3x2 + 5x + 2;
D = 52 – 4 * 3 * 2 = 1 > 0.
Уравнение
3x2 + 5x + 2 = 0
имеет два корня:
Тогда
Полученное произведение можно представить в более удобном виде: перемножив сомножители 3 и, получим:
3x2 + 5x + 2 = (x + 1)(3x + 2).
Пример 2.
y = –6x2 + 17x – 5.
D = 172 – 4 * (–6) * (–5) = 289 – 120 = 169 > 0.
Уравнение
–6x2 + 17x – 5 = 0,
или, что то же, 6x2 – 17x + 5 = 0, имеет корни:
Тогда
,
или
y = –6x2 + 17x – 5 = –(2x – 5)(3x – 1).