xy = 1000. (1)
Мы получили уравнение, содержащее произведение неизвестных xy. Степенью одночлена, содержащего две буквы, считается сумма показателей степеней, с которыми эти буквы входят в одночлен. Так, одночлен 2x2y3 имеет степень 2 + 3 = 5 относительно букв x и y.
Значит, в полученном уравнении (1) член xy имеет вторую степень, и мы получили уравнение второй степени.
Кроме того, в задаче дана величина периметра участка. Так как периметр его равен 2x + 2y, то получаем второе уравнение:
2x + 2y = 130,
или (разделив все члены на 2)
x + y = 65. (2)
Это уравнение первой степени.
Итак, для решения задачи мы имеем систему уравнений, из которых одно второй и одно первой степени:
(3)
Решим ее способом подстановки. Выразим из второго уравнения y через x:
y = 65 – x. (4)
Сделав подстановку в первое уравнение, получим:
x(65 – x) = 1000. (5)
Система уравнений (4) и (5) и система (3) равносильны (§ 79).
Решив уравнение (5), найдем: x1 = 40, x2 = 25.
Отсюда подстановкой в (4) получим соответственно:
y1 = 65 – 40 = 25; y2 = 65 – 25 = 40.
Получили два решения:
1) длина участка 40 м, ширина 25 м;
2) длина 25 м, ширина 40 м. Очевидно, что фактически получен один ответ на вопрос задачи.
Решим в общем виде систему уравнений, из которых одно второй и одно первой степени.
Пусть имеем систему:
(6)
Найдем из второго уравнения y:
(7)
Сделав подстановку в первое уравнение, получим
(8)
Система уравнений (7) и (8) равносильна системе (6).
Но уравнение (8) является уравнением с одним неизвестным и не выше второй степени. Решив его, найдем значение x; подставив их в (7), найдем соответствующие значения y.
Пример. Решить систему:
(9)
Из второго уравнения находим:
y = 2x – 3. (10)
Подставив вместо y в первое уравнение 2x – 3, получим:
4x2 – (2x – 3)2 + 2x – 2(2x – 3) – 17 = 0.
Это уравнение по упрощении примет вид:
x – 2 = 0.
Отсюда
x = 2.
Подстановка в уравнение (10) дает:
y = 1.