4x2 – 5x – 21 = 0.
Разделив все его члены на 4, получим:
.
Но это уравнение — приведенное, и решать его мы уже умеем.
Применим формулу (A) предыдущего параграфа:
Таким же путем решим теперь квадратное уравнение в общем виде:
ax2 + bx + c = 0. (1)
Разделим обе части этого уравнения на a (мы знаем, что a ≠ 0). Получим приведенное уравнение, равносильное данному:
. (2)
Вычислим подкоренное выражение в формуле (A) корней приведенного квадратного уравнения (2):
. (3)
Если это выражение неотрицательно, то, применив формулу (A), получим корни уравнения (1):
.
Заметив, что (так как мы считаем, что a > 0, то 4a2 = 2a), получим окончательно следующую общую формулу корней квадратного уравнения:
(B)
Если выражение (3) отрицательно, то уравнение не имеет корней.
Словами формулу (B) можно выразить так:
Корни квадратного уравнения равны дроби, знаменатель которой равен удвоенному первому коэффициенту, а числитель — второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс-минус квадратный корень из квадрата этого коэффициента без учетверенного произведения первого коэффициента и свободного члена.
Примеры.
1. x2 – 7x + 12 = 0.
Здесь a = 1, b = –7, с = 12. Применяя формулу (B), получим:
2. 3x2 – 5x – 2 = 0.
Здесь a = 3, b = –5, c = –2. По формуле (B) получим:
Формула (B) применима и в том случае, когда один из коэффициентов b или c равен нулю.
3. 9x2 – 49 = 0.
Здесь a = 9, b = 0, c = –49. По формуле (B) получим:
4. 2x2 + 5x = 0.
Здесь a = 2, b = 5, c = 0.
Формула (B) дает:
Если
b = 2k
, то уравнение (1) запишется так:
ax2 + 2kx + c = 0,
и формула (B) примет вид:
Этой формулой удобно пользоваться, если b — четное число.
Пример. 5x2 – 14x + 8 = 0.
Так как коэффициент при x — четное число, то применяем формулу (C):
Решим дробное уравнение:
Умножим обе части уравнения на (x – 2)(x – 3).
Получим:
x(x – 3) + 2 = 3(x – 2), или x2 – 6x + 8 = 0.
Получили квадратное уравнение. Так как (–3)2 – 8 = 1 > 0, то оно имеет два корня. Решив его по формуле (A), найдем:
x1 = 2; x2 = 4.
Теперь проверим корни, так как возможно появление посторонних корней (см. § 70).
Для данного уравнения значение x = 2 не является допустимым, а поэтому уравнение имеет единственный корень x = 4.