8a – 3a3 + 5a4 – 1. (1)
Пользуясь переместительным законом сложения, мы можем расположить его члены по убывающим степеням буквы a:
5a4 – 3a3 + 8a – 1. (2)
Тот же многочлен (1), расположенный по возрастающим степеням буквы a, примет вид:
–1 + 8a – 3a3 + 5a4. (3)
Расположение многочлена по степеням данной буквы есть тождественное преобразование этого многочлена.
В дальнейшем, говоря о расположении членов многочлена, мы будем подразумевать расположение по убывающим степеням главной буквы.
Если многочлен содержит две или несколько букв, то выбирают одну из них, которую считают главной, и располагают многочлен по степеням этой главной буквы. Например, выражение
3x3 – 2ax2 + a4x – 5a2 (4)
является многочленом, расположенным по убывающим степеням буквы x.
Первый член расположенного многочлена, содержащий главную букву в наивысшей степени, называется старшим, а последний — низшим членом этого многочлена. Степень старшего члена называется степенью и самого многочлена (по отношению к главной букве).
Многочлен (2) — четвертой, а (4) — третьей степени относительно главной буквы. Если низший член совсем не содержит главной буквы, то он называется свободным членом.
В многочлене (2) 5 есть коэффициент при a4; –3 — коэффициент при a3; 8 — коэффициент при a; –1 — свободный член.
В многочлене (4) 3 — коэффициент при x4; –2a — коэффициент при x2; a4 — коэффициент при x; –5a2 — свободный член.