y = kx + b, (1)
где k и b — определенные числа (k ≠ 0).
При заданных k и b значение y зависит от значения x. Следовательно, мы можем считать x аргументом, а y — его функцией. Функция такого вида называется линейной. Так как правая часть равенства (1) — многочлен первой степени относительно x, то линейной функции можно дать такое определение.
Определение. Многочлен первой степени относительно аргумента называется линейной функцией этого аргумента.
Так как при b = 0 функция имеет вид y = kx, то рассмотренная в предыдущем параграфе функция является частным случаем линейной функции.
В § 75 было показано построением, что графиком линейной функции является прямая. Докажем это.
Теорема. Графиком линейной функции является прямая.
Доказательство. Построим сначала прямую
y = kx (2)
(черт. 63; k = 2). Дадим абсциссе x произвольное значение x = a. Тогда ордината точки прямой (2) будет равна
y = ka, (3)
а ордината точки графика функции (1) будет равна:
y = ka + b. (4)
Так как абсциссу x мы взяли произвольно, то ордината любой точки графика функции y = kx + b равна значению b, сложенному с ординатой точки прямой y = kx, имеющей ту же абсциссу.
Установив это, легко построим график функции y = kx + b. Пусть b > 0 (на чертеже 63 b = 4). Дадим x произвольное значение, например x = 0. Тогда из (1) получим:
y = k * 0 + b; y = b.
Получили одну точку графика функции y = kx + b. Построим ее и проведем через нее вторую прямую, параллельную прямой y = kx. Это вторая прямая и будет графиком функции y = kx + b. Действительно, ордината любой точки M этой прямой равна сумме MN = b и NA ординаты точки прямой y = kx с той же абсциссой. Значит, координаты любой точки второй прямой удовлетворяют уравнению (4).
С другой стороны, если координаты какой-либо точки удовлетворяют уравнению (4), то ордината y = kx плюс b. Значит, рассматриваемая точка лежит на второй прямой. Эта прямая, параллельная прямой y = kx, и отсекает на оси ординат отрезок, равный по величине b.
Если b < 0, то графиком функции y = kx + b будет прямая, лежащая ниже графика функции y = kx (из ординат точек прямой y = kx вычитается |b|).
Рассмотрим некоторые частные случаи функции
y = kx + b.
1) Пусть b = 0. Тогда y = kx. Мы знаем, что графиком этой функции является прямая, проходящая через начало координат O (0; 0).
2) Пусть k = 0, b ≠ 0. Тогда y = b.
Из этого равенства видно, что при любом значении x ордината точки графика функции y = b будут равна b. Это значит, что все точки графика находятся на одном и том же расстоянии |b| от оси абсцисс. При b > 0 график лежит выше, а при b < 0 ниже оси абсцисс. Другими словами, графиком функции y = b является прямая, параллельная оси абсцисс. Эта прямая проходит через точку (0; b). На чертеже 64 построены графики функций: y = 3 и y = –2.
3) Пусть k = 0 и b = 0, тогда при любом значении x ордината y = 0. Очевидно, что этому условию удовлетворяют только все точки оси абсцисс, и только они. Значит графиком функции y = 0 является ось абсцисс.