a + b = b + a,
где a и b – любые числа.
Из арифметики известно, что переместительный закон верен для суммы любого числа слагаемых.
2. Сочетательный закон сложения.
Сумма нескольких слагаемых не изменится, если какую-нибудь группу рядом стоящих слагаемых заменить их суммой.
Для суммы трех слагаемых имеем:
(a + b) + c = a + (b + c).
Например, сумму 5 + 7 + 11 можно вычислить двумя способами так:
(5 + 7) + 11 = 12 + 11 = 23,
5 + (7 + 11) = 5 + 18 = 23.
Сочетательный закон справедлив для любого числа слагаемых.
Так, в сумме a + b + c + d четырех слагаемых рядом стоящие слагаемые можно как угодно объединять в группы и заменять эти слагаемые их суммой:
a + b + c + d = (a + b + c) + d = (a + b) + (c + d) =
= a + (b + c) + d = a + b + (c + d) = (a + b) + c + d.
Например, 1 + 3 + 5 + 7 = 16; мы получим то же число 16, каким бы способом ни группировали рядом стоящие слагаемые:
1 + (3 + 5) + 7 = 1 + 8 + 7 = 16,
1 + 3 + (5 + 7) = 1 + 3 + 12 = 16,
(1 + 3) + (5 + 7) = 4 + 12 = 16.
Переместительным и сочетательным законами часто пользуются при устных вычислениях, располагая числа так, чтобы легче было их сложить в уме.
Пример 1.
89 + 67 + 11.
Поменяем местами два последних слагаемых, получим:
89 + 11 + 67.
Сложить числа в этом порядке оказалось гораздо легче.
Обычно слагаемые в новом порядке не переписывают, а производят их перемещение в уме: переставив мысленно 67 и 11, сразу складывают 89 и 11 и затем прибавляют 67.
Пример 2.
.
Чтобы легче был сложить эти числа в уме, изменим порядок слагаемых так:
.
Пользуясь сочетательным законом, заключим два последних слагаемых в скобки:
.
Сложение чисел в скобках произвести легко, получим:
.
3. Переместительный закон умножения.
Произведение не изменяется от перемены порядка сомножителей:
ab = ba,
где a и b – любые числа.
Из арифметики известно, что переместительный закон верен для произведения любого числа сомножителей.
4. Сочетательный закон умножения.
Произведение нескольких сомножителей не изменится, если какую-нибудь группу рядом стоящих сомножителей заменить их произведением.
Для произведения трех сомножителей имеем:
(ab)c = a(bc).
Например, произведение трех сомножителей 5 * 3 * 4 можно вычислить так:
(5 * 3) * 4 = 15 * 4 = 60
или так:
5 * (3 * 4) = 5 * 12 = 60.
Для произведения четырех сомножителей имеем:
abcd = (abc)d = (ab)cd = a(bc)d = (ab)(cd) = a(bcd) = ab(cd).
Например, ; то же число 20 получится при любой группировке рядом стоящих сомножителей:
Применение переместительного и сочетательного законов умножения часто значительно облегчает вычисления.
Пример 1.
25 * 37 * 4.
Умножить 25 и 37 не очень легко. Переместим два последних сомножителя:
25 * 4 * 37.
Теперь умножение легко выполнить в уме.
Пример 2.
75 * 35 * 4 * 2.
Применим переместительный и сочетательный законы, запишем это выражение так:
75 * 4 * (35 * 2).
Все эти действия легко выполняются в уме.
5. Распределительный закон умножения по отношению к сложению.
Чтобы умножить сумму двух (или нескольких) чисел на какое-либо число, можно каждое слагаемое умножить на это число и результаты сложить:
(a + b)c = ac + bc.
Пример 1. Распределительный закон мы применяем, например, при умножении двузначных (и многозначных) чисел. Так, чтобы умножить 26 на 7, мы представляем 26 в виде суммы 20 + 6, умножаем 20 на 7, 6 на 7 и результаты складываем:
26 * 7 = (20 + 6) * 7 = 20 * 7 + 6 * 7 = 140 + 42 = 182.
Но иногда бывает выгоднее поступать наоборот: вместо того чтобы умножить каждое слагаемое на одно и то же число, сначала находят сумму этих слагаемых и умножают ее на данное число.
Пример 2.
87 * 28 + 13 * 28.
Представим выражение в другом виде:
(87 + 13) * 28.
Мы применили здесь распределительный закон, но только записанный в обратном порядке:
ac + bc = (a + b)c.
Теперь вычисление выполняется очень легко (устно).