Построим график каждого из этих уравнений. Графиком первого уравнения будет прямая AB (черт. 32), проходящая через точки A (0; –5) и B (; 0); графиком второго — прямая CD, проходящая через точки C (0; 6) и D (4; 0).
Координаты точек прямой AB дают множество всех решений первого уравнения, а координаты точек прямой CD дают множество всех решений второго уравнения. Значит, если эти уравнения имеют общее решение, то соответствующая этому решению точка должна лежать и на прямой AB и на прямой CD, то есть прямые AB и CD должны иметь общую точку. Из чертежа видим, что такой общей точкой является точка M, координаты которой (x = 2; y = 3) и образуют решение системы. Действительно, подстановка значений x = 2; y = 3 в уравнение системы дает верные равенства:
4 * 2 – 3 = 5,
3 * 2 + 2 * 3 = 12.
Итак, графический способ решения заключается в следующем:
- Строим график каждого из данных уравнений.
- Находим координаты точки пересечения построенных прямых (если они пересекаются).
Эти координаты и образуют решение системы.
Число решений системы. Графический способ решения системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными позволяет легко установить число решений системы.
Две прямые могут пересекаться, могут совпадать и могут быть параллельными.
Рассмотрим эти три случая.
1. Прямые пересекаются. В этом случае они имеют одну общую точку. (Как известно, более одной общей точки две несовпадающие прямые иметь не могут.) Координаты этой общей точки и дают единственное решение системы. Примером является только что рассмотренная система:
2. Прямые совпадают. В этом случае координаты каждой точки общего графика данных уравнений дают решение системы, и, следовательно, система имеет бесконечное множество решений.
Пример.
Графиком обоих уравнений является одна и та же прямая, проходящая через точки A (0; ) и B (; 0). Координаты любой точки этой прямой являются решением системы. Это и понятно. Если разделить обе части второго уравнения на 2, то получим равносильное ему уравнение:
2x + 3y = 7.
Но это будет как раз первое из данных уравнений. Уравнения, образующие данную систему, равносильны. Всякое решение одного из этих уравнений есть решение другого. Значит, можно рассматривать лишь одно из данных уравнений, а другое (ему равносильное) отбросить. Итак, фактически мы имеем здесь одно уравнение с двумя неизвестными. А такое уравнение, как мы знаем, имеет бесконечное множество решений.
3. Прямые параллельны. В этом случае прямые не имеют ни одной общей точки. Значит, и система уравнений, графиками которых являются эти прямые, не имеет решений.
Пример.
Графиком первого уравнения будет прямая AB (черт. 33), проходящая через точки A (0; –3) и B (6; 0).
Графиком второго уравнения будет прямая CD, проходящая через точки D (0; 2) и C (–4; 0).
Как видим, эти прямые параллельны. Система не имеет решений.
В этом можно убедиться и следующим образом.
Разделим обе части второго уравнения на 2. Получим систему, равносильную данной:
Любая пара значений x и y, удовлетворяющая первому уравнению, должна дать для выражения x – 2y значение 6 и не может, следовательно, равняться –4, как это следует из второго уравнения.
Итак, мы показали:
- Если прямые — графики данных уравнений — пересекаются, то система имеет единственное решение.
- Если прямые совпадают, то система имеет бесконечное множество решений.
- Если прямые параллельны, то система не имеет решений.
Заметим, что будут верны и обратные положения:
- Если система имеет единственное решение, то прямые (график данных уравнений) пересекаются.
- Если система имеет бесконечное множество решений, то прямые совпадают.
- Если система не имеет решений, то прямые параллельны.
Все эти положения легко доказываются методом от противного.