копейкам.
Заметим, что перед множителем, выраженным буквой, знак умножения принято опускать, он просто подразумевается. Поэтому предыдущую запись можно представить в таком виде:
2n + 8.
Получили формулу решения задачи. Она показывает, что для решения задачи надо цену тетради умножить на число купленных тетрадей и к произведению прибавить стоимость учебника.
Вместо слова «формула» для подобных записей употребляют также название «алгебраическое выражение».
Алгебраическим выражением называется запись, состоящая из чисел, обозначенных цифрами и буквами и соединенных знаками действий.
Для краткости вместо «алгебраическое выражение» говорят иногда просто «выражение».
Приведем еще примеры алгебраических выражений:
; 3mn; 9(p + q); a; ; 4,5.
Из этих примеров видим, что алгебраическое выражение может состоять только из одной буквы, а может совсем не содержать чисел, обозначенных буквами (два последних примера). В этом последнем случае выражение называется также арифметическим выражением.
Дадим в полученном нами алгебраическом выражении 2n + 8 букве n значение 5 (значит, ученик купил 5 тетрадей). Подставим вместо n число 5, получим:
,
что равно 18 (то есть 18 коп.).
Число 18 является значением данного алгебраического выражения при n = 5.
Значением алгебраического выражения называется число, которое получится, если в это выражение подставить вместо букв данные их значения и произвести над числами указанные действия.
Например, мы можем сказать: значение выражения 2n + 8 при n = 2 равно 12 (12 коп.).
Значение этого же выражения при n = 3 равно 14 (14 коп.) и т. д.
Мы видим, что значение алгебраического выражения зависит от того, какие значения мы дадим входящим в него буквам. Правда, иногда бывает, что значение выражения не зависит от значений входящих в него букв. Например, выражение 2(a + 3) – 2a равно 6 при любых значениях a.
Найдем для примера числовые значения выражения 3a + 2b при различных значениях букв a и b.
Пусть a = 4 и b = 2.
Подставим в данное выражение вместо a число 4, а вместо b число 2 и вычислим полученное выражение:
Итак, при a = 4 и b = 2 значение выражения 3a + 2b равно 16.
Таким же образом найдем, что при a = 5 и b = 7 значение выражения равно 29, при a = 0 и b = 1 оно равно 2 и т. д.
Результаты вычислений можно записать в виде таблицы, которая наглядно покажет, как изменяется значение выражения в зависимости от изменения значений входящих в него букв.
Составим таблицу из трех строк. В первой строке будем записывать значения a, во второй — значения b и в третьей — значения выражения 3a + 2b. Получим такую таблицу:
| a | 4 | 5 | 0 | 3 | 3 |
| b | 2 | 7 | 1 | 5 | 1 |
| 3a + 2b | 16 | 29 | 2 | 19 | 11 |
В § 1, говоря о переместительном законе сложения, мы писали, что два выражения a + b и b + a равны:
a + b = b + a.
Такая запись называется равенством.
Два алгебраических выражения, соединенных знаком «равно», образуют равенство.
Как известно из арифметики, кроме знака равенства, употребляются еще знаки неравенства:
> – этот знак означает больше,
< – этот знак означает меньше.
Например:
5 > 2 – читается: пять больше двух;
3 < 7 – читается: три меньше семи.
Следует запомнить, что знак неравенства всегда обращен острием к меньшему числу.
Два выражения, соединенные знаком «больше» или «меньше», образуют неравенство.
Пример. Измерив отрезок, получили, что его длина d больше 5 см, но меньше 6 см. Результат измерения можно записать в виде двойного неравенства:
5 см < d < 6 см.