Коэффициенты при у в обоих уравнениях одинаковы по абсолютной величине и противоположны по знаку. Поэтому если вместо, например, первого уравнения возьмем суммы данных уравнений, то в этой сумме сократятся члены, содержащие неизвестное y.
Получим систему:
Эта система равносильна данной (§ 79, п. 2). Но в ней первое уравнение содержит только одно неизвестное x, из него найдем: x = 4.
Подставим это значение x во второе уравнение, получим уравнение, содержащее одно неизвестное:
8 + 3y = 11,
из которого получим y = 1.
Решением системы является пара чисел: x = 4, y = 1.
2. Решим систему:
Коэффициент при x во втором уравнении втрое больше, чем в первом. Умножим поэтому обе части первого уравнения на 3. Получим систему (§ 48, свойство 2), равносильную данной:
Коэффициенты при x стали одинаковыми. Возьмем разность этих уравнений:
–10y = –20 и y = 2.
Подставив 2 вместо y в одно из данных уравнений, найдем x = 8.
Решение системы: x = 8, y = 2.
Мы могли бы уравнять коэффициенты не при x, а при y, умножив первое уравнение на 11, а второе на 7.
Из приведенных примеров видно, что решение системы уравнений способом алгебраического сложения заключается в следующем:
- Уравниваем абсолютные величины коэффициентов при одном из неизвестных.
- Производим сложение полученных уравнений, если равные по абсолютной величине коэффициенты имеют противоположные знаки. Если же они имеют одинаковые знаки, то производим вычитание.
- Полученное уравнение содержит одно неизвестное; находим это неизвестное.
- Подставляем найденное значение неизвестного в одно из данных уравнений и находим значение второго неизвестного.
2. Способ подстановки.
Возьмем систему:
(1)
Выразив из второго уравнения одно из неизвестных, например x, через другое, получим:
(2)
Подставим это выражение для x в первое уравнение:
(3)
Система уравнений (2) и (3) равносильна системе уравнений (1) (§ 79, п. 3). Из уравнения (3) y = 1.
Подставив y = 1 в уравнение (2), найдем:
Решение системы: x = 4, y = 1.
Из этого примера видим, что решение системы уравнений способом подстановки заключается в следующем:
- В одном из данных уравнений выражаем одно неизвестное через другое.
- Подставляем полученное выражение в другое данное уравнение.
- Решаем полученное уравнение, содержащее одно неизвестное; находим это неизвестное.
- Подставляем данное значение неизвестного в полученное выражение для другого неизвестного и находим второе неизвестное.
Способ подстановки удобно применять тогда, когда один из коэффициентов при неизвестном равен единице.